If
& A=5 ax+3 ay+2 az & B=-ax+4 ay+6 az & C=8 ax+2 ay
find the values of alpha and beta such that alpha A+beta B+C is parallel to the y-axis.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores, A, B e C, definidos em termos das unidades ax, ay e az. Queremos encontrar os valores de alpha e beta de forma que a combinação linear alpha A + beta B + C seja paralela ao eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e propriedades de vetores paralelos.

Passo 2

Para que um vetor seja paralelo ao eixo y, ele não pode ter componente nas direções x e z. Ou seja, as componentes x e z da combinação linear devem ser iguais a zero.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear:
alpha A + beta B + C = alpha (5 ax + 3 ay + 2 az) + beta (-ax + 4 ay + 6 az) + (8 ax + 2 ay)

Passo 4

Distribuindo alpha e beta:
= 5alpha ax + 3alpha ay + 2alpha az - beta ax + 4beta ay + 6beta az + 8 ax + 2 ay

Passo 5

Agora, vamos agrupar as componentes de cada direção:
  • Componente x:
5alpha - beta + 8
  • Componente y:
3alpha + 4beta + 2
  • Componente z:
2alpha + 6beta

Passo 6

Para que a combinação seja paralela ao eixo y, as componentes x e z devem ser zero:
5alpha - beta + 8 = 0 2alpha + 6beta = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 5alpha - beta = -8 \
  2. 2alpha + 6beta = 0

Passo 8

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos resolver a segunda equação para alpha:
2alpha + 6beta = 0 Rightarrow alpha = -3beta

Passo 9

Substituindo alpha = -3beta na primeira equação:
5(-3beta) - beta = -8 -15beta - beta = -8 -16beta = -8 beta = -8-16 = 12

Passo 10

Agora, substituindo beta = 12 em alpha = -3beta:
alpha = -3 times 12 = -32

Resposta

Os valores são alpha = -dfrac32 e beta = dfrac12.

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