(a) Show that
(b) Show that

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando as teorias envolvidas.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar mostrando que .
Primeiro, lembramos de uma identidade vetorial importante que relaciona o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores e :
Essa identidade nos diz que a soma dos quadrados do produto escalar e do produto vetorial �� igual ao produto dos quadrados das magnitudes dos dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade ao que a questão pede. Note que e representam as magnitudes dos vetores e , ou seja, e . Portanto, a identidade fica:
Isso exatamente coincide com o que a parte (a) quermos mostrar.

Passo 4

Parte (b): Agora, vamos mostrar que as bases recíprocas , e são dadas pelas expressões fornecidas.
Primeiro, entendemos que em um sistema de coordenadas ortonormal, as bases recíprocas são definidas de tal forma que:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário.
Para encontrar as bases recíprocas, usamos o produto vetorial e o produto escalar entre as bases originais.

Passo 5

Vamos derivar a expressão para :
Aqui, o denominador representa o volume do paralelepípedo formado pelas três bases, que, em um sistema ortonormal, é igual a 1. Assim, a expressão simplifica para:
De maneira similar, para e , temos:

Resposta

(a) A identidade está comprovada:
(b) As bases recíprocas são dadas por:

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Given vectors
determine , and such that the vectors are mutually orthogonal.
If
find the values of and such that is parallel to the -axis.
Given vectors and , find: (a) the scalar projection of on , (b) the vector projection of on , © the smaller angle between and .
Calculate the angles that vector makes with the -, -, and -axes.