(a) Show that
(A cdot B)^2+(A times B)^2=(A B)^2
(b) Show that
ax=ay times azax cdot ay times az, ay=-az times axax cdot ay times az, az=ax times ayax cdot ay times az

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Mostrar que
(A cdot B)^2 + (A times B)^2 = (A B)^2
(b) Mostrar que
ax = ay times azax cdot (ay times az), ay = -az times axax cdot (ay times az), az = ax times ayax cdot (ay times az)
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando as teorias envolvidas.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar mostrando que (A cdot B)^2 + (A times B)^2 = (A B)^2.
Primeiro, lembramos de uma identidade vetorial importante que relaciona o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores A e B:
|A|^2 |B|^2 = (A cdot B)^2 + |A times B|^2
Essa identidade nos diz que a soma dos quadrados do produto escalar e do produto vetorial �� igual ao produto dos quadrados das magnitudes dos dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade ao que a questão pede. Note que A e B representam as magnitudes dos vetores A e B, ou seja, A = |A| e B = |B|. Portanto, a identidade fica:
(A B)^2 = (A cdot B)^2 + (A times B)^2
Isso exatamente coincide com o que a parte (a) quermos mostrar.

Passo 4

Parte (b): Agora, vamos mostrar que as bases recíprocas ax, ay e az são dadas pelas expressões fornecidas.
Primeiro, entendemos que em um sistema de coordenadas ortonormal, as bases recíprocas são definidas de tal forma que:
ai cdot aj = de
onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se i = j e 0 caso contrário.
Para encontrar as bases recíprocas, usamos o produto vetorial e o produto escalar entre as bases originais.

Passo 5

Vamos derivar a expressão para ax:
ax = ay times azax cdot (ay times az)
Aqui, o denominador ax cdot (ay times az) representa o volume do paralelepípedo formado pelas três bases, que, em um sistema ortonormal, é igual a 1. Assim, a expressão simplifica para:
ax = ay times az
De maneira similar, para ay e az, temos:
ay = -az times axax cdot (ay times az) = -az times ax
az = ax times ayax cdot (ay times az) = ax times ay

Resposta

(a) A identidade está comprovada:
(A cdot B)^2 + (A times B)^2 = (A B)^2
(b) As bases recíprocas são dadas por:
ax = ay times azax cdot (ay times az), ay = -az times axax cdot (ay times az), az = ax times ayax cdot (ay times az)

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