(a) Show that
(b) Show that
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando as teorias envolvidas.
Passo 2
Parte (a): Vamos começar mostrando que
.
Primeiro, lembramos de uma identidade vetorial importante que relaciona o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores
e
:
Essa identidade nos diz que a soma dos quadrados do produto escalar e do produto vetorial �� igual ao produto dos quadrados das magnitudes dos dois vetores.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa identidade ao que a questão pede. Note que
e
representam as magnitudes dos vetores
e
, ou seja,
e
. Portanto, a identidade fica:
Isso exatamente coincide com o que a parte (a) quermos mostrar.
Passo 4
Parte (b): Agora, vamos mostrar que as bases recíprocas
,
e
são dadas pelas expressões fornecidas.
Primeiro, entendemos que em um sistema de coordenadas ortonormal, as bases recíprocas são definidas de tal forma que:
onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário.
Para encontrar as bases recíprocas, usamos o produto vetorial e o produto escalar entre as bases originais.
Passo 5
Vamos derivar a expressão para
:
Aqui, o denominador
representa o volume do paralelepípedo formado pelas três bases, que, em um sistema ortonormal, é igual a 1. Assim, a expressão simplifica para:
De maneira similar, para
e
, temos:
Resposta
(a) A identidade está comprovada:
(b) As bases recíprocas são dadas por:
Exercícios relacionados
Given vectors
determine
, and
such that the vectors are mutually orthogonal.
If
find the values of
and
such that
is parallel to the
-axis.
Given vectors
and
, find: (a) the scalar projection of
on
, (b) the vector projection of
on
, © the smaller angle between
and
.
Calculate the angles that vector
makes with the
-,
-, and
-axes.