Given vectors
and
, find: (a) the scalar projection of
on
, (b) the vector projection of
on
, © the smaller angle between
and
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre vetores na 3D: o vetor T é igual a
e o vetor S é igual a
. Precisamos encontrar três coisas:
a) A projeção escalar de T em S,
b) A projeção vetorial de S em T,
c) O menor ângulo entre T e S.
a) A projeção escalar de T em S,
b) A projeção vetorial de S em T,
c) O menor ângulo entre T e S.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, normas de vetores e fórmulas de projeção. Não se preocupe, vou explicar cada passo!
Passo 2
a) Projeção escalar de
em
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção escalar de um vetor A em B:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores e
é a norma (ou módulo) de B.
Vamos calcular:
- Produto escalar
:
- Norma de
:
- Projeção escalar:
Passo 3
b) Projeção vetorial de
em
Agora, a fórmula para a projeção vetorial de A em B é:
Vamos usar S como A e T como B:
- Produto escalar
: Já calculamos e foi -7. - Norma de
ao quadrado:
- Projeção vetorial:
Passo 4
c) Menor ângulo entre
e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde
é o ângulo entre T e S.
- Produto escalar
: -7 - Normas dos vetores:
- Isolando
:
- Calculando
:
Como queremos o menor ângulo, usamos o valor agudo, que é aproximadamente
.
Resposta
a) A projeção escalar de
em
é aproximadamente
.
b) A projeção vetorial de
em
é
.
c) O menor ângulo entre
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
(a) Show that
(b) Show that
Given vectors
determine
, and
such that the vectors are mutually orthogonal.
Calculate the angles that vector
makes with the
-,
-, and
-axes.
If
and
, find: (a) the scalar projections of
on
, (b) the vector projection of
on
, © the unit vector perpendicular to the plane containing
and
.