Given vectors and , find: (a) the scalar projection of on , (b) the vector projection of on , © the smaller angle between and .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre vetores na 3D: o vetor T é igual a e o vetor S é igual a . Precisamos encontrar três coisas:
a) A projeção escalar de T em S,
b) A projeção vetorial de S em T,
c) O menor ângulo entre T e S.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, normas de vetores e fórmulas de projeção. Não se preocupe, vou explicar cada passo!

Passo 2

a) Projeção escalar de em
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção escalar de um vetor A em B:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e é a norma (ou módulo) de B.
Vamos calcular:
  1. Produto escalar :
  1. Norma de :
  1. Projeção escalar:

Passo 3

b) Projeção vetorial de em
Agora, a fórmula para a projeção vetorial de A em B é:
Vamos usar S como A e T como B:
  1. Produto escalar : Já calculamos e foi -7.
  2. Norma de ao quadrado:
  1. Projeção vetorial:

Passo 4

c) Menor ângulo entre e
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre T e S.
  1. Produto escalar : -7
  2. Normas dos vetores:
  1. Isolando :
  1. Calculando :
Como queremos o menor ângulo, usamos o valor agudo, que é aproximadamente .

Resposta

a) A projeção escalar de em é aproximadamente .
b) A projeção vetorial de em é .
c) O menor ângulo entre e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

(a) Show that
(b) Show that
Given vectors
determine , and such that the vectors are mutually orthogonal.
Calculate the angles that vector makes with the -, -, and -axes.
If and , find: (a) the scalar projections of on , (b) the vector projection of on , © the unit vector perpendicular to the plane containing and .