If and , find: (a) the scalar projections of on , (b) the vector projection of on , © the unit vector perpendicular to the plane containing and .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas vetores, e , e precisamos realizar três coisas:
a) Encontrar as projeções escalares de em ,
b) Encontrar a projeção vetorial de em ,
c) Encontrar um vetor unitário perpendicular ao plano formado por e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e produto vetorial. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar o vetor . Observando o enunciado:
Notamos que tem dois termos de . Vamos somar eles:
Então, e .

Passo 3

a) Projeção Escalar de em
A projeção escalar de em é dada por:
Vamos calcular o produto escalar e a magnitude de .
Primeiro, o produto escalar:
Aqui, o componente de é 0, já que não tem .
Agora, a magnitude de :
Então, a projeção escalar é:

Passo 4

b) Projeção Vetorial de em
A projeção vetorial de em é dada por:
Já calculamos . Agora, vamos calcular :
Então, a projeção vetorial é:

Passo 5

c) Vetor Unitário Perpendicular ao Plano de e
Para achar um vetor perpendicular ao plano, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular:
O produto vetorial é:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter o vetor unitário:
Então, o vetor unitário é:

Resposta

a) A projeção escalar de em é .
b) A projeção vetorial de em é .
c) Um vetor unitário perpendicular ao plano de e é .

Exercícios relacionados

Calculate the angles that vector makes with the -, -, and -axes.
Given vectors and , find: (a) the scalar projection of on , (b) the vector projection of on , © the smaller angle between and .
Simplify the following expressions:
(a)
(b) $\mathbf{A} \times[\mathbf{A} \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})]
Points , and are located at , and , respectively. Determine: (a) the distance between and , (b) the distance vector from to , © the angle between and , (d) the area of triangle , (e) the perimeter of triangle .