Um goleiro levanta uma bola de uma altura H em relação ao gramado do campo para chutá-la. Em T segundos após o chute a bola cai no gramado a uma distância D do goleiro. Qual foi a velocidade inicial da bola imediatamente após o chute? (Dica: Considere H a altura incial, D o alcance máximo, T o tempo total de trajetória e g a aceleração da gravidade.)

Passo 1

Vamos resolver um problema de física onde um goleiro chuta uma bola que parte de uma altura inicial . A bola leva um tempo total de segundos para cair no gramado a uma distância do goleiro. Nosso objetivo é encontrar a velocidade inicial da bola imediatamente após o chute. Para isso, vamos utilizar os conceitos de movimento de projéteis, considerando as componentes horizontal e vertical da velocidade, e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o movimento da bola em duas partes: horizontal e vertical. Isso nos ajuda a analisar cada componente separadamente.

Passo 3

Componente Horizontal:
No movimento horizontal, a velocidade é constante porque não há aceleração (desprezamos a resistência do ar). A distância D = Vx times T percorrida é dada por:
Vx = DT
Onde:
  • é a componente horizontal da velocidade inicial.
  • é o tempo total de trajetória.
Podemos isolar :

Passo 4

Componente Vertical:
No movimento vertical, a bola é influenciada pela aceleração da gravidade H + Vy times T - 12 g T^2 = 0 . A posição vertical da bola ao longo do tempo é dada por:
Vy = H + 12 g T^2T = HT + 12 g T
Onde:
  • é a altura inicial.
  • é a componente vertical da velocidade inicial.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Isolando :

Passo 5

Agora que temos as componentes V = raizVx^2 + Vy^2 e V = raiz(DT)^2 + (HT + 12 g T)^2 , podemos encontrar a velocidade inicial total usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

A velocidade inicial da bola imediatamente após o chute é:
V = raiz(DT)^2 + (HT + 12 g T)^2

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