A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por v(t)=-5.10^7 t^2+ 3.10^5 t onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
d) Qual o comprimento do cano?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que a velocidade da bala dentro do cano do rifle é dada pela função , onde está em metros por segundo e em segundos. O que precisamos descobrir aqui é o comprimento do cano da arma, ou seja, quanto de distância a bala percorre enquanto está no cano até sair.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, aceleração e integração. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da bala. A aceleração é simplesmente a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tem a função da velocidade, derivar essa função nos dá a aceleração.
Então, vamos derivar a(t) = dv(t)dt = ddt ( -5 times 10^7 t^2 + 3 times 10^5 t ) = -1 times 10^8 t + 3 times 10^5 :

Passo 3

A gente sabe pelo enunciado que a aceleração da bala quando ela sai do cano é zero. Ou seja, -1 times 10^8 tsaída + 3 times 10^5 = 0 naquele instante. Vamos usar isso para encontrar o tempo que a bala leva para sair do cano, que vamos chamar de tsaída = 3 times 10^51 times 10^8 = 3 times 10^-3 segundos í.
Igualando a aceleração a zero:
í
Resolvendo para í:
í
Então, a bala leva segundos para percorrer o cano.

Passo 4

Agora que sabemos quanto tempo a bala está no cano, podemos encontrar o comprimento do cano. Para isso, vamos integrar a função de velocidade no intervalo de s = integral0^3 times 10^-3 v(t) , dt = integral0^3 times 10^-3 ( -5 times 10^7 t^2 + 3 times 10^5 t ) dt até s = -5 times 10^7 integral0^3 times 10^-3 t^2 , dt + 3 times 10^5 integral0^3 times 10^-3 t , dt segundos. A integral da velocidade em relação ao tempo nos dá a distância percorrida.
s = -5 times 10^7 [ t^33 ]0^3 times 10^-3 + 3 times 10^5 [ t^22 ]0^3 times 10^-3
Vamos calcular essa integral:
s = -5 times 10^7 ( (3 times 10^-3)^33 - 0 ) + 3 times 10^5 ( (3 times 10^-3)^22 - 0 )
Integrando cada termo:
s = -5 times 10^7 ( 27 times 10^-93 ) + 3 times 10^5 ( 9 times 10^-62 )
Calculando nos limites:
s = -5 times 10^7 times 9 times 10^-9 + 3 times 10^5 times 4.5 times 10^-6
s = -0.45 + 1.35 = 0.9 metros

Resposta

O comprimento do cano do rifle é de 0,9 metros.

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