A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
d) Qual o comprimento do cano?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que a velocidade da bala dentro do cano do rifle é dada pela função , onde está em metros por segundo e em segundos. O que precisamos descobrir aqui é o comprimento do cano da arma, ou seja, quanto de distância a bala percorre enquanto está no cano até sair.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, aceleração e integração. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da bala. A aceleração é simplesmente a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tem a função da velocidade, derivar essa função nos dá a aceleração.
Então, vamos derivar :

Passo 3

A gente sabe pelo enunciado que a aceleração da bala quando ela sai do cano é zero. Ou seja, naquele instante. Vamos usar isso para encontrar o tempo que a bala leva para sair do cano, que vamos chamar de í.
Igualando a aceleração a zero:
í
Resolvendo para í:
í
Então, a bala leva segundos para percorrer o cano.

Passo 4

Agora que sabemos quanto tempo a bala está no cano, podemos encontrar o comprimento do cano. Para isso, vamos integrar a função de velocidade no intervalo de até segundos. A integral da velocidade em relação ao tempo nos dá a distância percorrida.
Vamos calcular essa integral:
Integrando cada termo:
Calculando nos limites:

Resposta

O comprimento do cano do rifle é de 0,9 metros.

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