A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por
onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
d) Qual o comprimento do cano?
d) Qual o comprimento do cano?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que a velocidade da bala dentro do cano do rifle é dada pela função
, onde
está em metros por segundo e
em segundos. O que precisamos descobrir aqui é o comprimento do cano da arma, ou seja, quanto de distância a bala percorre enquanto está no cano até sair.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade, aceleração e integração. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração da bala. A aceleração é simplesmente a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tem a função da velocidade, derivar essa função nos dá a aceleração.
Então, vamos derivar
:
Passo 3
A gente sabe pelo enunciado que a aceleração da bala quando ela sai do cano é zero. Ou seja,
naquele instante. Vamos usar isso para encontrar o tempo que a bala leva para sair do cano, que vamos chamar de
.
Igualando a aceleração a zero:
Resolvendo para
:
Então, a bala leva
segundos para percorrer o cano.
Passo 4
Agora que sabemos quanto tempo a bala está no cano, podemos encontrar o comprimento do cano. Para isso, vamos integrar a função de velocidade no intervalo de
até
segundos. A integral da velocidade em relação ao tempo nos dá a distância percorrida.
Vamos calcular essa integral:
Integrando cada termo:
Calculando nos limites:
Resposta
O comprimento do cano do rifle é de 0,9 metros.
Exercícios relacionados
Um carro se move sobre um plano
com componentes da aceleração
e
. A velocidade inicial tem componentes
e
. Qual a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada
Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo
. A posição da partícula em cada instante é dada por
(
é medido em segundos e
em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante e para
infinito?
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule .
a) Qual a posição da partícula no instante
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule
Um goleiro levanta uma bola de uma altura
em relação ao gramado do campo para chutá-la. Em
segundos após o chute a bola cai no gramado a uma distância
do goleiro. Qual foi a velocidade inicial da bola imediatamente após o chute? (Dica: Considere
a altura incial,
o alcance máximo,
o tempo total de trajetória e
a aceleração da gravidade.)
A velocidade de um corpo quando atinge a altura
tem módulo
e faz um ângulo
acima da horizontal. Suponha
e
. a) Determine o vetor velocidade inicial
no no instante do lançamento. (Dica: Lembre-se! Determinar o vetor
significa encontrar seu módulo e o ângulo com relação à horizontal.) b) Qual deve ser a velocidade do corpo no instante em que ele retorna ao chão? (Dica: Explore as simetrias do lançamento oblíquo!)