Uma gota de chuva, na forma de uma esfera, encontra uma camada de ar seco ao longo de sua queda e começa a evaporar a uma taxa proporcional à área da sua superfície. Mostre que a velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma gota de chuva, que é como uma esfera, caindo e encontrando uma camada de ar seco. Nessa situação, a gota começa a evaporar, e a taxa dessa evaporação é proporcional à área da superfície da gota. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante. Vamos precisar usar conceitos de geometria das esferas e um pouco de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da área de uma esfera, que é:
Aqui, é a área da superfície e é o raio da esfera.

Passo 3

A taxa de evaporação da gota é proporcional à área da superfície. Isso significa que podemos escrever a taxa de variação do volume em relação ao tempo como:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 4

Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo para relacionar com :

Passo 5

Agora, substituímos na equação da taxa de evaporação:

Passo 6

Igualamos as duas expressões para :
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por :

Passo 7

A equação mostra que a taxa de variação do raio em relação ao tempo é constante, já que é uma constante.

Resposta

A velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante e igual a .

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