Uma gota de chuva, na forma de uma esfera, encontra uma camada de ar seco ao longo de sua queda e começa a evaporar a uma taxa proporcional à área da sua superfície. Mostre que a velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma gota de chuva, que é como uma esfera, caindo e encontrando uma camada de ar seco. Nessa situação, a gota começa a evaporar, e a taxa dessa evaporação é proporcional à área da superfície da gota. Nosso objetivo é mostrar que a velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante. Vamos precisar usar conceitos de geometria das esferas e um pouco de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da área de uma esfera, que é:
Aqui,
é a área da superfície e
é o raio da esfera.
Passo 3
A taxa de evaporação da gota é proporcional à área da superfície. Isso significa que podemos escrever a taxa de variação do volume em relação ao tempo como:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 4
Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo para relacionar
com
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da taxa de evaporação:
Passo 6
Igualamos as duas expressões para
:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por
:
Passo 7
A equação
mostra que a taxa de variação do raio em relação ao tempo é constante, já que
é uma constante.
Resposta
A velocidade com que o raio da gota está diminuindo é constante e igual a
.