Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 1 centímetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo cujos lados estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. A gente precisa descobrir quão rápido o volume desse cubo está mudando quando cada lado mede 1 centímetro. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
onde é o volume e é o comprimento de um lado do cubo.

Passo 3

Agora, como os lados estão mudando com o tempo, queremos saber como o volume está mudando também com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :
Aqui, representa a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do lado do cubo.

Passo 4

A gente já sabe que centímetros por segundo (é a taxa que os lados estão aumentando) e que centímetro no momento que a gente quer calcular. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 5

Fazendo as contas:
Então, a taxa de variação do volume é 9 centímetros cúbicos por segundo.

Resposta

A taxa de variação do volume quando cada lado mede 1 centímetro é de 9 cm³/s.

Exercícios relacionados