Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 1 centímetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo cujos lados estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. A gente precisa descobrir quão rápido o volume desse cubo está mudando quando cada lado mede 1 centímetro. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
onde
é o volume e
é o comprimento de um lado do cubo.
Passo 3
Agora, como os lados estão mudando com o tempo, queremos saber como o volume está mudando também com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Aqui,
representa a taxa de variação do volume e
é a taxa de variação do lado do cubo.
Passo 4
A gente já sabe que
centímetros por segundo (é a taxa que os lados estão aumentando) e que
centímetro no momento que a gente quer calcular. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Fazendo as contas:
Então, a taxa de variação do volume é 9 centímetros cúbicos por segundo.
Resposta
A taxa de variação do volume quando cada lado mede 1 centímetro é de 9 cm³/s.