Gradiente de potencial: obtenção do módulo, direção e sentido do campo elétrico Uma função escalar de potencial elétrico é dada por . Determine o vetor campo elétrico em função de , bem como seu módulo, direção e sentido no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o gradiente de potencial elétrico. A gente tem uma função escalar de potencial elétrico dada por . A tarefa é descobrir o vetor campo elétrico em função de , além de calcular seu módulo, direção e sentido no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico através da relação:
Aqui, representa o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada coordenada.

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente :
Então, o vetor campo elétrico fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular no ponto . Basta substituir , e na expressão de :

Passo 6

Vamos calcular o módulo de no ponto . O módulo de um vetor é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 7

A direção do vetor é a mesma que a direção do vetor unitário associado a . Para encontrar , dividimos cada componente de pelo seu módulo:

Passo 8

O sentido do vetor é indicado pelas direções das suas componentes. Como o componente é negativa, ele aponta na direção negativa de . As componentes e são positivas e negativas, respectivamente, indicando suas respectivas direções.

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto é , com módulo aproximadamente , direção dada pelo vetor unitário e sentido nas direções indicadas pelas componentes negativas de e , e positiva de .

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