Gradiente de potencial: obtenção do módulo, direção e sentido do campo elétrico Uma função escalar de potencial elétrico é dada por
. Determine o vetor campo elétrico
em função de
, bem como seu módulo, direção e sentido no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o gradiente de potencial elétrico. A gente tem uma função escalar de potencial elétrico dada por
. A tarefa é descobrir o vetor campo elétrico
em função de
, além de calcular seu módulo, direção e sentido no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
através da relação:
Aqui,
representa o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada.
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente
:
Então, o vetor campo elétrico fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
no ponto
. Basta substituir
,
e
na expressão de
:
Passo 6
Vamos calcular o módulo de
no ponto
. O módulo de um vetor
é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 7
A direção do vetor
é a mesma que a direção do vetor unitário
associado a
. Para encontrar
, dividimos cada componente de
pelo seu módulo:
Passo 8
O sentido do vetor
é indicado pelas direções das suas componentes. Como o componente
é negativa, ele aponta na direção negativa de
. As componentes
e
são positivas e negativas, respectivamente, indicando suas respectivas direções.
Resposta
O vetor campo elétrico no ponto
é
, com módulo aproximadamente
, direção dada pelo vetor unitário
e sentido nas direções indicadas pelas componentes negativas de
e
, e positiva de
.