Gradiente de potencial: obtenção do módulo, direção e sentido do campo elétrico Uma função escalar de potencial elétrico é dada por V(x, y, z)=5 x^2-3 y+4 z. Determine o vetor campo elétrico E em função de x, y, z, bem como seu módulo, direção e sentido no ponto P(1,-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o gradiente de potencial elétrico. A gente tem uma função escalar de potencial elétrico dada por . A tarefa é descobrir o vetor campo elétrico em função de , além de calcular seu módulo, direção e sentido no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico através da relação:
Aqui, representa o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de partial Vpartial x = partialpartial x(5x^2 - 3y + 4z) = 10x . Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de partial Vpartial y = partialpartial y(5x^2 - 3y + 4z) = -3 em relação a cada coordenada.
partial Vpartial z = partialpartial z(5x^2 - 3y + 4z) = 4

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente E = -nabla V = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) = -(10x i - 3 j + 4 k) :
E(x, y, z) = -10x i + 3 j - 4 k
Então, o vetor campo elétrico fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular E(1, -2, 0) = -10(1) i + 3 j - 4 k = -10 i + 3 j - 4 k no ponto . Basta substituir , e na expressão de :

Passo 6

Vamos calcular o módulo de |E| = raiza^2 + b^2 + c^2 no ponto |E| = raiz(-10)^2 + 3^2 + (-4)^2 = raiz100 + 9 + 16 = raiz125 approx 11,18 . O módulo de um vetor é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 7

A direção do vetor u = E|E| = -10 i + 3 j - 4 k11,18 approx -0,896 i + 0,268 j - 0,358 k é a mesma que a direção do vetor unitário associado a . Para encontrar , dividimos cada componente de pelo seu módulo:

Passo 8

O sentido do vetor é indicado pelas direções das suas componentes. Como o componente é negativa, ele aponta na direção negativa de . As componentes e são positivas e negativas, respectivamente, indicando suas respectivas direções.

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto é , com módulo aproximadamente , direção dada pelo vetor unitário e sentido nas direções indicadas pelas componentes negativas de e , e positiva de .

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