Resolver os seguintes exercícios resolvidos do capitulo de Potencial Elétrico:
Exemplo 25.8 - Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma densidade de carga uniforme e carga total Q. a) Encontre o potencial elétrico num ponto fora da esfera, considere que no infinito o potencial é zero. b) Encontre o potencial para um ponto dentro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera sólida isolante com raio , densidade de carga uniforme e carga total . Precisamos encontrar o potencial elétrico em dois casos:
a) Um ponto fora da esfera, considerando que o potencial é zero no infinito.
b) Um ponto dentro da esfera.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico gerado por distribuições de carga esféricas. Vamos precisar lembrar das fórmulas para potenciais elétricos tanto fora quanto dentro de uma esfera carregada uniformemente.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar o potencial elétrico em um ponto fora da esfera.
Quando temos uma distribuição esférica de carga com densidade uniforme, para pontos fora da esfera ( ), o potencial elétrico é equivalente ao de uma carga pontual concentrada no centro da esfera. Isso simplifica nossos cálculos!
A fórmula para o potencial devido a uma carga pontual é:
onde:
  • é a constante eletrostática,
  • é a carga total,
  • é a distância do ponto onde queremos calcular o potencial até o centro da esfera.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): encontrar o potencial elétrico em um ponto dentro da esfera ( ).
Dentro de uma esfera carregada uniformemente, o campo elétrico varia linearmente com a distância do centro. A expressão para o campo elétrico dentro da esfera é:
Para encontrar o potencial dentro da esfera, precisamos integrar o campo elétrico desde o ponto interno até o infinito. No entanto, como o potencial no infinito é zero, podemos calcular a diferença de potencial entre o ponto e o infinito.
A integral fica assim:
Resolvendo a integral:

Resposta

a) O potencial elétrico fora da esfera é:
b) O potencial elétrico dentro da esfera é:

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