Pelo gráfico, diga em que região as funções abaixo são contínuas. Tente justificar. Refaça o exercício 1. quando concluir toda a lista.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos a função
definida por partes:
O conteúdo da matéria envolvido aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver o exercício, precisamos determinar em quais regiões a função
é contínua, justificando as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar analisando os pontos onde
. Nesses pontos, a função
é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.
Como
nunca é zero exceto em
, a função é definida e suave (infinita diferenciação) em todos os pontos onde
. Portanto,
é contínua em todos os pontos de
exceto possivelmente em
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Definimos
e
, onde
.
Substituindo na função:
Simplificando:
À medida que
, o denominador tende a
e o numerador tende a zero, já que
multiplicado por termos limitados tende a zero. Portanto:
Passo 5
Comparando o limite calculado com o valor da função em
:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a função
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
.
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Encontre as derivadas parciais indicadas:
?
Encontre as derivadas parciais indicadas:
?