Pelo gráfico, diga em que região as funções abaixo são contínuas. Tente justificar. Refaça o exercício 1. quando concluir toda a lista.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos a função definida por partes:
O conteúdo da matéria envolvido aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver o exercício, precisamos determinar em quais regiões a função é contínua, justificando as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar analisando os pontos onde . Nesses pontos, a função é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.
Como nunca é zero exceto em , a função é definida e suave (infinita diferenciação) em todos os pontos onde . Portanto, é contínua em todos os pontos de exceto possivelmente em .

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Definimos e , onde .
Substituindo na função:
Simplificando:
À medida que , o denominador tende a e o numerador tende a zero, já que multiplicado por termos limitados tende a zero. Portanto:

Passo 5

Comparando o limite calculado com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o plano .

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
Encontre as derivadas parciais indicadas: ?