Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
f(x, y) = x * y^5 / (x^2 + y^10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se existe um limite na origem para a função . O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o limite de uma função de duas variáveis na origem. Queremos ver se, ao aproximar de por qualquer caminho, a função se aproxima de um único valor.

Passo 3

Vamos começar avaliando o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Se os limites ao longo de diferentes caminhos forem iguais, isso é um bom indício de que o limite geral pode existir. Caso contrário, se encontrarmos limites diferentes, podemos concluir que o limite na origem não existe.

Passo 4

Primeiro caminho:
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 5

Segundo caminho:
Substituindo na função:
Aqui também o limite é 0.

Passo 6

Terceiro caminho:
Vamos substituir na função:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então o limite nesse caminho é 0.

Passo 7

Quarto caminho:
Substituindo na função:
Aqui, o limite é , que é diferente de 0.

Passo 8

Como encontramos caminhos onde o limite da função dá resultados diferentes (0 e ), isso mostra que o limite na origem não existe.

Resposta

O limite da função na origem não existe.

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