Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se existe um limite na origem para a função
. O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar entender como a função se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o limite de uma função de duas variáveis na origem. Queremos ver se, ao aproximar
de
por qualquer caminho, a função
se aproxima de um único valor.
Passo 3
Vamos começar avaliando o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Se os limites ao longo de diferentes caminhos forem iguais, isso é um bom indício de que o limite geral pode existir. Caso contrário, se encontrarmos limites diferentes, podemos concluir que o limite na origem não existe.
Passo 4
Primeiro caminho:
Substituindo
na função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 5
Segundo caminho:
Substituindo
na função:
Aqui também o limite é 0.
Passo 6
Terceiro caminho:
Vamos substituir
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então o limite nesse caminho é 0.
Passo 7
Quarto caminho:
Substituindo
na função:
Aqui, o limite é
, que é diferente de 0.
Passo 8
Como encontramos caminhos onde o limite da função dá resultados diferentes (0 e
), isso mostra que o limite na origem não existe.
Resposta
O limite da função
na origem não existe.
Exercícios relacionados
Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Pelo gráfico, diga em que região as funções abaixo são contínuas. Tente justificar. Refaça o exercício 1. quando concluir toda a lista.
Encontre as derivadas parciais indicadas:
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