O gráfico de uma função é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: (k) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o gráfico de uma função e pede para construirmos o gráfico de uma nova função . Vamos usar conceitos de transformações de funções para resolver isso, como escala vertical, deslocamento, reflexão e compressão horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função original . Como temos o gráfico dela, precisamos aplicar as transformações passo a passo na função para chegar na nova função .

Passo 3

Vamos começar com o que está dentro da função , que é . Isso representa um reflexo na horizontal e uma compressão. O termo reflete a função em relação ao eixo y (inversão) e comprime horizontalmente por um fator de .

Passo 4

Agora, consideramos o que está somado a . Isso significa que vamos deslocar a função para a direita em 2 unidades. Então, a função dentro de se torna comprimida, refletida e deslocada.

Passo 5

Em seguida, temos o coeficiente que multiplica a função . Isso indica uma escala vertical, ou seja, vamos esticar o gráfico da função resultante verticalmente por um fator de 2.

Passo 6

Por último, o fora da função indica que vamos deslocar todo o gráfico verticalmente para cima em 4 unidades.

Resposta

Portanto, para construir o gráfico de , aplicamos as seguintes transformações na função original :
  1. Reflexão em relação ao eixo y.
  2. Compressão horizontal por um fator de .
  3. Deslocamento horizontal para a direita em 2 unidades.
  4. Escala vertical por um fator de 2.
  5. Deslocamento vertical para cima em 4 unidades.
O domínio da nova função permanece igual ao domínio de após as transformações horizontais, e a imagem é o domínio original multiplicado por 2 e somado com 4.

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