Resolva em R as equações e inequações a seguir: (j) log2(x-3) + log2(x-1) < 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com logaritmos na base 2. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades dos logaritmos e garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Assim, podemos combinar os dois logaritmos em um só:

Passo 3

Agora, para eliminar o logaritmo, vamos reescrever a inequação na forma exponencial. Sabemos que se , então . Aplicando isso:

Passo 4

Vamos expandir o lado esquerdo:
Subtraindo 8 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes:
Então, as raízes são e . A inequação será negativa entre as raízes:

Passo 6

Lembrando que os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:
A condição mais restritiva é .

Resposta

A solução da inequação é .

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