O gráfico de uma função
é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: (d)
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o gráfico de uma função
e precisamos construir o gráfico da função
. Além disso, devemos determinar os domínios e as imagens dessas funções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente a dilatação horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a transformação
, onde
é um número real. Quando multiplicamos o
por uma constante dentro da função, isso afeta a largura do gráfico da função original. Se
, a função sofre uma dilatação horizontal; ou seja, o gráfico se estica na horizontal. Se
, ocorre uma compressão horizontal.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Aqui,
, que é menor que 1. Isso significa que a função
será esticada horizontalmente por um fator de
. Portanto, o gráfico de
será uma versão mais “larga” do gráfico original de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Se o domínio original de
for, por exemplo,
, então o domínio da nova função será todos os valores de
que, quando multiplicados por
, ainda pertencem a
. Portanto, o domínio será
.
Passo 5
Quanto à imagem da função, que é o conjunto de valores que
pode assumir, a dilatação horizontal não altera a imagem. Isso significa que a imagem da função
será a mesma que a imagem da função original
.
Resposta
A função
apresenta um gráfico esticado horizontalmente em relação ao gráfico de
. O domínio da nova função é três vezes o domínio de
, ou seja,
. A imagem permanece igual à imagem de
.