O gráfico de uma função é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: (d) .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o gráfico de uma função e precisamos construir o gráfico da função . Além disso, devemos determinar os domínios e as imagens dessas funções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, especificamente a dilatação horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a transformação , onde é um número real. Quando multiplicamos o por uma constante dentro da função, isso afeta a largura do gráfico da função original. Se , a função sofre uma dilatação horizontal; ou seja, o gráfico se estica na horizontal. Se , ocorre uma compressão horizontal.

Passo 3

No nosso caso, temos . Aqui, , que é menor que 1. Isso significa que a função será esticada horizontalmente por um fator de . Portanto, o gráfico de será uma versão mais “larga” do gráfico original de .

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Se o domínio original de for, por exemplo, , então o domínio da nova função será todos os valores de que, quando multiplicados por , ainda pertencem a . Portanto, o domínio será .

Passo 5

Quanto à imagem da função, que é o conjunto de valores que pode assumir, a dilatação horizontal não altera a imagem. Isso significa que a imagem da função será a mesma que a imagem da função original .

Resposta

A função apresenta um gráfico esticado horizontalmente em relação ao gráfico de . O domínio da nova função é três vezes o domínio de , ou seja, . A imagem permanece igual à imagem de .

Exercícios relacionados

A respeito da função , julgue as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa: © .
Resolva em as equações e inequações a seguir: (i) .
Seja uma função. (d) Supondo que é uma função afim, quantos pares ordenados diferentes são necessários para determinar os números reais e tais que ?
Esboce o gráfico das funções a seguir: (h) .