(Valor 1,5) Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. Toda função decrescente tem segunda derivada negativa, isto é, concavidade para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Toda função decrescente tem segunda derivada negativa, isto é, concavidade para baixo” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas e concavidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser decrescente. Uma função é decrescente em um intervalo se, conforme aumentamos o valor de
, o valor de
diminui. Isso é representado pela primeira derivada da função.
Passo 3
A primeira derivada de uma função,
, nos diz a inclinação da função naquele ponto. Se
, a função está descendo, ou seja, é decrescente naquele intervalo.
Passo 4
Agora, sobre a segunda derivada,
, ela nos informa sobre a concavidade da função:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Passo 5
A afirmação diz que toda função decrescente tem segunda derivada negativa, ou seja, sempre é côncava para baixo. Mas será que isso é verdade?
Passo 6
Vamos pensar em um exemplo. Considere a função:
Vamos calcular as derivadas:
-
Primeira derivada:Como
é sempre positivo ou zero, será sempre negativo ou zero. Isso significa que a função é decrescente em todo o domínio. -
Segunda derivada:Aqui, a segunda derivada depende do valor de
: - Se
, (côncava para baixo). - Se
, (côncava para cima).
- Se
Passo 7
No exemplo, a função é decrescente em todo o seu domínio, mas a concavidade muda dependendo do valor de
. Portanto, a função não é sempre côncava para baixo, mesmo sendo decrescente.
Resposta
Falsa. Nem toda função decrescente apresenta segunda derivada negativa; portanto, a afirmação é falsa.
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consiste de duas retas e um semicírculo. Use-o para calcular a integral.
Calcule