(Valor 1,5) Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. Toda função decrescente tem segunda derivada negativa, isto é, concavidade para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Toda função decrescente tem segunda derivada negativa, isto é, concavidade para baixo” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas e concavidade das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser decrescente. Uma função é decrescente em um intervalo se, conforme aumentamos o valor de , o valor de diminui. Isso é representado pela primeira derivada da função.

Passo 3

A primeira derivada de uma função, , nos diz a inclinação da função naquele ponto. Se , a função está descendo, ou seja, é decrescente naquele intervalo.

Passo 4

Agora, sobre a segunda derivada, , ela nos informa sobre a concavidade da função:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.

Passo 5

A afirmação diz que toda função decrescente tem segunda derivada negativa, ou seja, sempre é côncava para baixo. Mas será que isso é verdade?

Passo 6

Vamos pensar em um exemplo. Considere a função:
Vamos calcular as derivadas:
  • Primeira derivada:
    Como é sempre positivo ou zero, será sempre negativo ou zero. Isso significa que a função é decrescente em todo o domínio.
  • Segunda derivada:
    Aqui, a segunda derivada depende do valor de :
    • Se , (côncava para baixo).
    • Se , (côncava para cima).

Passo 7

No exemplo, a função é decrescente em todo o seu domínio, mas a concavidade muda dependendo do valor de . Portanto, a função não é sempre côncava para baixo, mesmo sendo decrescente.

Resposta

Falsa. Nem toda função decrescente apresenta segunda derivada negativa; portanto, a afirmação é falsa.

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