Como o gráfico de y = 1 / f(x) está relacionado com o gráfico de f ?
Esboçe o gráfico de y = 1 / (x^2 - x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício. Primeiro, precisa entender como o gráfico de se relaciona com o gráfico de . Depois, temos que esboçar o gráfico de . Vamos usar conceitos de funções e transformações gráficas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa . Essencialmente, estamos pegando o inverso do valor de para cada ponto . Isso afeta como o gráfico se comporta em relação ao gráfico original de .

Passo 3

Vamos lembrar que ao inverter , valores de que eram grandes se tornam pequenos e vice-versa. Além disso, onde , não está definido, o que cria assíntotas verticais no gráfico de .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao exercício específico . Aqui, . Vamos analisar onde para identificar as assíntotas verticais.

Passo 5

Resolvendo :
Então, haverá assíntotas verticais em e .

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores de menores que 0, entre 0 e 1, e maiores que 1.
  • Para : é positivo, então também será positivo.
  • Para : é negativo, então será negativo.
  • Para : é positivo, então será positivo.

Passo 7

Vamos encontrar alguns pontos-chave para ajudar no esboço:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 8

Além disso, vamos observar o comportamento assintótico:
  • À medida que se aproxima de 0 ou 1, tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual se aproxima.
  • Para grandes valores de , tende a 0, já que o denominador cresce muito.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Desenhe as assíntotas verticais em e .
  • Plote os pontos-chave encontrados.
  • Mostre que para e , a curva se aproxima das assíntotas horizontais em .
  • Entre 0 e 1, a curva desce para baixo, atingindo o ponto .

Resposta

O gráfico de possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . A curva se comporta de forma a se aproximar dessas assíntotas conforme se afasta dessas linhas, passando por pontos como , e . Entre 0 e 1, a função é negativa, enquanto para e , é positiva. O esboço reflete esses comportamentos com as respectivas assíntotas e pontos.

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