Como o gráfico de está relacionado com o gráfico de ?
Esboçe o gráfico de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício. Primeiro, precisa entender como o gráfico de se relaciona com o gráfico de . Depois, temos que esboçar o gráfico de . Vamos usar conceitos de funções e transformações gráficas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa . Essencialmente, estamos pegando o inverso do valor de para cada ponto . Isso afeta como o gráfico se comporta em relação ao gráfico original de .
Passo 3
Vamos lembrar que ao inverter , valores de que eram grandes se tornam pequenos e vice-versa. Além disso, onde , não está definido, o que cria assíntotas verticais no gráfico de .
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso ao exercício específico . Aqui, . Vamos analisar onde para identificar as assíntotas verticais.
Passo 5
Resolvendo :
Então, haverá assíntotas verticais em e .
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores de menores que 0, entre 0 e 1, e maiores que 1.
- Para : é positivo, então também será positivo.
- Para : é negativo, então será negativo.
- Para : é positivo, então será positivo.
Passo 7
Vamos encontrar alguns pontos-chave para ajudar no esboço:
- Quando :
- Quando :
- Quando :
Passo 8
Além disso, vamos observar o comportamento assintótico:
- À medida que se aproxima de 0 ou 1, tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual se aproxima.
- Para grandes valores de , tende a 0, já que o denominador cresce muito.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Desenhe as assíntotas verticais em e .
- Plote os pontos-chave encontrados.
- Mostre que para e , a curva se aproxima das assíntotas horizontais em .
- Entre 0 e 1, a curva desce para baixo, atingindo o ponto .
Resposta
O gráfico de possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . A curva se comporta de forma a se aproximar dessas assíntotas conforme se afasta dessas linhas, passando por pontos como , e . Entre 0 e 1, a função é negativa, enquanto para e , é positiva. O esboço reflete esses comportamentos com as respectivas assíntotas e pontos.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
(d)
Para cada item, obtenha o gráfico da função correspondente utilizando transformaçōes (translaçōes verticais e/ou horizontais, homotetias e reflexōes) dos gráficos conhecidos.
(d)
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
(f)
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.