Como o gráfico de
está relacionado com o gráfico de
?
Esboçe o gráfico de
.
Esboçe o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas partes nesse exercício. Primeiro, precisa entender como o gráfico de
se relaciona com o gráfico de
. Depois, temos que esboçar o gráfico de
. Vamos usar conceitos de funções e transformações gráficas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa
. Essencialmente, estamos pegando o inverso do valor de
para cada ponto
. Isso afeta como o gráfico se comporta em relação ao gráfico original de
.
Passo 3
Vamos lembrar que ao inverter
, valores de
que eram grandes se tornam pequenos e vice-versa. Além disso, onde
,
não está definido, o que cria assíntotas verticais no gráfico de
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso ao exercício específico
. Aqui,
. Vamos analisar onde
para identificar as assíntotas verticais.
Passo 5
Resolvendo
:
Então, haverá assíntotas verticais em
e
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores de
menores que 0, entre 0 e 1, e maiores que 1.
- Para
: é positivo, então também será positivo. - Para
: é negativo, então será negativo. - Para
: é positivo, então será positivo.
Passo 7
Vamos encontrar alguns pontos-chave para ajudar no esboço:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Passo 8
Além disso, vamos observar o comportamento assintótico:
- À medida que
se aproxima de 0 ou 1, tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual se aproxima. - Para grandes valores de
, tende a 0, já que o denominador cresce muito.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Desenhe as assíntotas verticais em
e . - Plote os pontos-chave encontrados.
- Mostre que para
e , a curva se aproxima das assíntotas horizontais em . - Entre 0 e 1, a curva desce para baixo, atingindo o ponto
.
Resposta
O gráfico de
possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. A curva se comporta de forma a se aproximar dessas assíntotas conforme
se afasta dessas linhas, passando por pontos como
,
e
. Entre 0 e 1, a função é negativa, enquanto para
e
, é positiva. O esboço reflete esses comportamentos com as respectivas assíntotas e pontos.