Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
(f)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar a Regra da Cadeia para encontrar . Temos as seguintes funções:
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções compostas utilizando a Regra da Cadeia.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a Regra da Cadeia para derivar em relação a , considerando que depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de . Substituímos , e nas equações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Sabemos que . Então:
Também sabemos que . Portanto:
Como é sempre positivo onde está definido, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a derivada do logaritmo e a derivada de :
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Como o gráfico de está relacionado com o gráfico de ?
Esboçe o gráfico de .
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
(d)
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Um rio segue para o norte com uma velocidade de . Um homem rema um barco, atravessando o rio, sua velocidade relativa à água é de para leste.
c) Qual o tempo gasto na travessia do rio?