Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t.
(f) w = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = cos(t), z = tan(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar a Regra da Cadeia para encontrar . Temos as seguintes funções:
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções compostas utilizando a Regra da Cadeia.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a Regra da Cadeia para derivar em relação a , considerando que depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de . Substituímos , e nas equações:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Sabemos que . Então:
Também sabemos que . Portanto:
Como é sempre positivo onde está definido, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a derivada do logaritmo e a derivada de :
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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