Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t.
(d) z = tan^(-1)(y / x), x = e^(t), y = 1 - e^(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar onde:
Isso envolve cálculo de derivadas compostas, então vamos precisar lembrar como a Regra da Cadeia funciona e como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , usamos a Regra da Cadeia:

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Sabemos que:
Usando a derivada da função arco-tangente:

Passo 4

Agora, vamos calcular e .
Dado que:

Passo 5

Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 6

Vamos simplificar:

Passo 7

Substituindo e :

Passo 8

Então, a derivada fica:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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