Para o projétil do problema 2,
a) mostre que a equação da trajetória z(x) é dada por
z=(m gb vx 0+vz 0vx 0) x-m^2 gb^2 ln (m vx 0m vx 0-b x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a equação da trajetória z = (m gb vx0 + vz0vx0) x - m^2 gb^2 ln (m vx0m vx0-b x) de um projétil é dada por:
Matéria envolvida: Movimento de projéteis com resistência do ar proporcional à velocidade.
O que vamos precisar: Equações diferenciais que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal (x) e vertical (z), métodos de resolução de equações diferenciais lineares, e integração para encontrar a trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças que atuam no projétil. Além da força da gravidade que atua para baixo, temos a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do projétil e atua na direção oposta ao movimento. Podemos expressar essas forças como:
  • Na direção x (horizontal):
  • Na direção z (vertical):
Aqui, é a constante de proporcionalidade da resistência do ar, é a velocidade horizontal e é a velocidade vertical.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton m dvxdt = -b vx implies dvxdt = -bm vx , temos as equações de movimento para cada direção:
  • Na direção x:
    m dvzdt = -m g - b vz implies dvzdt = -g - bm vz
  • Na direção z:

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial para dvxdt = -bm vx primeiro:
vx(t) = vx0 e^-bm t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução geral:
onde é a velocidade inicial na direção x.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial para dvzdt = -g - bm vz :
e^bm t dvzdt + bm e^bm t vz = -g e^bm t
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante para resolver:
Multiplicando ambos os lados por ddt ( e^bm t vz ) = -g e^bm t :
e^bm t vz = -m gb e^bm t + C
Isso simplifica para:
vz(t) = -m gb + C e^-bm t
Integrando ambos os lados:
vz0 = -m gb + C implies C = vz0 + m gb
Onde vz(t) = ( vz0 + m gb ) e^-bm t - m gb é a constante de integração. Resolvendo para :
Usando a condição inicial :
Portanto, a solução para é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as posições x(t) = integral vx(t) dt = integral vx0 e^-bm t dt = -m vx0b e^-bm t + Cx e x(t) = m vx0b ( 1 - e^-bm t ) integrando as velocidades.
Para :
Assumindo que , encontramos , então:

Passo 7

Para z(t) = integral ( ( vz0 + m gb ) e^-bm t - m gb ) dt , integramos z(t) = ( vz0 + m gb ) ( -mb e^-bm t ) - m gb t + Cz :
z(t) = mb ( vz0 + m gb ) ( 1 - e^-bm t ) - m gb t
Integrando termo a termo:
Assumindo que , a constante de integração , então:

Passo 8

Agora, queremos expressar x(t) = m vx0b ( 1 - e^-bm t ) implies e^-bm t = 1 - b xm vx0 em função de -bm t = ln ( 1 - b xm vx0 ) implies t = -mb ln ( 1 - b xm vx0 ) , ou seja, . Primeiro, resolvemos a equação de para :
Tomando o logaritmo natural:

Passo 9

Substituímos z(x) = mb ( vz0 + m gb ) ( 1 - ( 1 - b xm vx0 ) ) - m gb ( -mb ln ( 1 - b xm vx0 ) ) na expressão de z(x) = mb ( vz0 + m gb ) ( b xm vx0 ) + m^2 gb^2 ln ( m vx0m vx0 - b x ) :
z(x) = ( m gb vx0 + vz0vx0 ) x - m^2 gb^2 ln ( m vx0m vx0 - b x )
Simplificando:
Simplificando mais:

Resposta

Assim, demonstramos que a equação da trajetória do projétil é:
z = (m gb vx0 + vz0vx0) x - m^2 gb^2 ln (m vx0m vx0-b x)

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