Para o projétil do problema 2,
a) mostre que a equação da trajetória
é dada por
a) mostre que a equação da trajetória
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a equação da trajetória
de um projétil é dada por:
Matéria envolvida: Movimento de projéteis com resistência do ar proporcional à velocidade.
O que vamos precisar: Equações diferenciais que descrevem o movimento do projétil nas direções horizontal (x) e vertical (z), métodos de resolução de equações diferenciais lineares, e integração para encontrar a trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças que atuam no projétil. Além da força da gravidade
que atua para baixo, temos a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do projétil e atua na direção oposta ao movimento. Podemos expressar essas forças como:
- Na direção x (horizontal):
- Na direção z (vertical):
Aqui,
é a constante de proporcionalidade da resistência do ar,
é a velocidade horizontal e
é a velocidade vertical.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton
, temos as equações de movimento para cada direção:
-
Na direção x:
-
Na direção z:
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para
primeiro:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução geral:
onde
é a velocidade inicial na direção x.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial para
:
Essa também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante para resolver:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Usando a condição inicial
:
Portanto, a solução para
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as posições
e
integrando as velocidades.
Para
:
Assumindo que
, encontramos
, então:
Passo 7
Para
, integramos
:
Integrando termo a termo:
Assumindo que
, a constante de integração
, então:
Passo 8
Agora, queremos expressar
em função de
, ou seja,
. Primeiro, resolvemos a equação de
para
:
Tomando o logaritmo natural:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Simplificando mais:
Resposta
Assim, demonstramos que a equação da trajetória do projétil é: