Uma grande lata de água está cheia até a altura h. A que altura da base devo fazer um furo para (i) obter o alcance máximo do jato que sai e (ii) garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical? (iii) Qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata de água cheia até uma altura
e queremos saber a que altura da base fazer um furo para:
- Obter o alcance máximo do jato que sai.
- Garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical.
- Determinar qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e a Lei de Torricelli, que nos ajuda a encontrar a velocidade do jato de água saindo do furo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade
do jato de água saindo do furo é dada por:
onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da coluna de água acima do furo.
Então, se o furo está a uma altura
da base, então
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o jato de água como um projeto de movimento parabólico. Isso significa que a água sai com uma certa velocidade horizontal e depois é influenciada pela gravidade, seguindo uma trajetória curva.
A distância horizontal que o jato percorre
(alcance) pode ser calculada por:
onde
é o tempo que a água leva para cair até o solo.
Passo 4
Para encontrar o tempo
, vamos analisar o movimento vertical. A água cai uma distância
(a altura do furo até o solo) com a aceleração da gravidade. A equação do movimento vertical é:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação do alcance
:
Então, a distância horizontal
depende da altura
do furo.
Passo 6
Parte (i): Alcance Máximo do Jato
Para encontrar a altura
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Começamos com:
Vamos maximizar
, então derivamos:
Igualando a derivada a zero:
Então, o alcance máximo ocorre quando o furo está a metade da altura da lata.
Parte (ii): Distância Horizontal Igual à Vertical
Queremos que
.
Temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Expandindo:
Rearranjando:
Então, a altura do furo deve ser
da altura total.
Passo 7
Parte (iii): Distância Horizontal Máxima
Já vimos na parte (i) que o alcance máximo ocorre quando
. Substituindo na equação de
:
Então, a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é igual à altura total da lata
.
Resposta
(i) A altura do furo deve ser
para obter o alcance máximo.
(ii) A altura do furo deve ser
para que a distância horizontal seja igual à distância vertical.
(iii) A distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é
.