Uma grande lata de água está cheia até a altura h. A que altura da base devo fazer um furo para (i) obter o alcance máximo do jato que sai e (ii) garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical? (iii) Qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata de água cheia até uma altura e queremos saber a que altura da base fazer um furo para:
  1. Obter o alcance máximo do jato que sai.
  2. Garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical.
  3. Determinar qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e a Lei de Torricelli, que nos ajuda a encontrar a velocidade do jato de água saindo do furo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade do jato de água saindo do furo é dada por:
onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ²),
  • é a altura da coluna de água acima do furo.
Então, se o furo está a uma altura da base, então .

Passo 3

Agora, vamos considerar o jato de água como um projeto de movimento parabólico. Isso significa que a água sai com uma certa velocidade horizontal e depois é influenciada pela gravidade, seguindo uma trajetória curva.
A distância horizontal que o jato percorre (alcance) pode ser calculada por:
onde é o tempo que a água leva para cair até o solo.

Passo 4

Para encontrar o tempo , vamos analisar o movimento vertical. A água cai uma distância (a altura do furo até o solo) com a aceleração da gravidade. A equação do movimento vertical é:
²
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação do alcance :
Então, a distância horizontal depende da altura do furo.

Passo 6

Parte (i): Alcance Máximo do Jato

Para encontrar a altura que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero.
Começamos com:
Vamos maximizar , então derivamos:
Igualando a derivada a zero:
Então, o alcance máximo ocorre quando o furo está a metade da altura da lata.

Parte (ii): Distância Horizontal Igual à Vertical

Queremos que .
Temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado:
²
Multiplicando ambos os lados por 4:
²
Expandindo:
²²
Rearranjando:
²
Então, a altura do furo deve ser da altura total.

Passo 7

Parte (iii): Distância Horizontal Máxima

Já vimos na parte (i) que o alcance máximo ocorre quando . Substituindo na equação de :
á
Então, a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é igual à altura total da lata .

Resposta

(i) A altura do furo deve ser para obter o alcance máximo.
(ii) A altura do furo deve ser para que a distância horizontal seja igual à distância vertical.
(iii) A distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é á.

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