Uma grande lata de água está cheia até a altura h. A que altura da base devo fazer um furo para (i) obter o alcance máximo do jato que sai e (ii) garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical? (iii) Qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer? (1,5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata de água cheia até uma altura e queremos saber a que altura da base fazer um furo para:
  1. Obter o alcance máximo do jato que sai.
  2. Garantir que o jato percorra uma distância horizontal igual à distância vertical.
  3. Determinar qual é a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de projéteis e a Lei de Torricelli, que nos ajuda a encontrar a velocidade do jato de água saindo do furo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade v = raiz2g(H) do jato de água saindo do furo é dada por:
onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ²),
  • é a altura da coluna de água acima do furo.
Então, se o furo está a uma altura da base, então .

Passo 3

Agora, vamos considerar o jato de água como um projeto de movimento parabólico. Isso significa que a água sai com uma certa velocidade horizontal e depois é influenciada pela gravidade, seguindo uma trajetória curva.
A distância horizontal que o jato percorre R = v times t (alcance) pode ser calculada por:
onde é o tempo que a água leva para cair até o solo.

Passo 4

Para encontrar o tempo y = 12 g t² , vamos analisar o movimento vertical. A água cai uma distância t = raiz2yg (a altura do furo até o solo) com a aceleração da gravidade. A equação do movimento vertical é:
²
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos R = raiz2g(h - y) times raiz2yg = raiz4y(h - y) = 2raizy(h - y) e na equação do alcance :
Então, a distância horizontal depende da altura do furo.

Passo 6

Parte (i): Alcance Máximo do Jato

Para encontrar a altura R = 2raizy(h - y) que maximiza dRdy = 2 times 12 times (h - y) - yraizy(h - y) = h - 2yraizy(h - y) , vamos derivar h - 2y = 0 Rightarrow y = h2 em relação a 2raizy(h - y) = y e igualar a zero.
Começamos com:
raizy(h - y) = y2
Vamos maximizar y(h - y) = y²4 , então derivamos:
Igualando a derivada a zero:
4y(h - y) = y²
Então, o alcance máximo ocorre quando o furo está a metade da altura da lata.

Parte (ii): Distância Horizontal Igual à Vertical

Queremos que 4hy - 4y² = y² .
Temos:
4hy = 5y² Rightarrow 4h = 5y Rightarrow y = 4h5
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado:
²
Multiplicando ambos os lados por 4:
²
Expandindo:
²²
Rearranjando:
²
Então, a altura do furo deve ser da altura total.

Passo 7

Parte (iii): Distância Horizontal Máxima

Já vimos na parte (i) que o alcance máximo ocorre quando Rmáximo = 2raizh2 (h - h2) = 2raizh2 times h2 = 2 times h2 = h . Substituindo na equação de :
á
Então, a distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é igual à altura total da lata .

Resposta

(i) A altura do furo deve ser para obter o alcance máximo.
(ii) A altura do furo deve ser para que a distância horizontal seja igual à distância vertical.
(iii) A distância horizontal máxima que o jato pode percorrer é á.

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