Um grande tanque de área muito grande é preenchido com água até uma altura . Um pequeno orifício com seção reta , situado no fundo do tanque, permite drenar a água do interior do tanque. Determine:
a) a vazão na saída do orifício ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cheio de água até uma altura de e um pequeno orifício no fundo com uma área de seção reta de . A gente precisa descobrir qual é a vazão da água saindo desse orifício, ou seja, quanto de água sai por segundo, medido em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a calcular a velocidade com que a água sai do orifício. Depois, vamos multiplicar essa velocidade pela área do orifício para achar a vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade de saída da água usando a Lei de Torricelli. Essa lei diz que a velocidade com que a água sai de um orifício é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( na nossa unidade)
  • é a altura da coluna de água acima do orifício ( )

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando dentro da raiz:
Então, a velocidade da água saindo do orifício é aproximadamente .

Passo 4

Agora que temos a velocidade, vamos calcular a vazão . A vazão é o volume de água que sai por segundo e é dada por:
Onde:
  • é a área do orifício
  • é a velocidade que calculamos
Substituindo os valores:

Resposta

A vazão na saída do orifício é aproximadamente .

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Sabendo que , encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
b)
A mangueira de um jardim possui um diâmetro de e está ligada a um irrigador que consiste em um recipiente munido de 14 pequenos orifícios, cada um dos quais com diâmetro de . A velocidade da água na mangueira vale . Calcule a velocidade da água ao sair dos orifícios.
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