(Halliday) Um fluido gira com velocidade angular constante
em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Se a pressão vale
no eixo de rotação
, mostre que a pressão
em um ponto qualquer a uma distância
vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos um fluido girando com uma velocidade angular constante
dentro de um reservatório cilíndrico. No centro da rotação, onde
, a pressão é
. A gente precisa mostrar que a pressão
em qualquer ponto a uma distância
do centro é dada por:
Aqui,
é a densidade do fluido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças em um fluido em rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar uma pequena partícula de fluido a uma distância
do centro. Como o fluido está girando, essa partícula sente uma força para fora devido à rotação, chamada de força centrífuga. Além disso, a pressão do fluido exerce uma força para dentro.
Passo 3
Vamos analisar o equilíbrio dessas forças. A força centrífuga por unidade de volume é dada por:
E a variação da pressão com a distância
gera uma força que age na direção oposta:
Passo 4
No equilíbrio, a força centrífuga é balanceada pela variação da pressão. Ent��o, temos a equação:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração do lado esquerdo nos dá
, e do lado direito:
Passo 6
Portanto, temos:
Isolando
:
Resposta
A pressão em um ponto a uma distância
do centro é:
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