(Halliday) Um fluido gira com velocidade angular constante em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Se a pressão vale no eixo de rotação , mostre que a pressão em um ponto qualquer a uma distância vale

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos um fluido girando com uma velocidade angular constante dentro de um reservatório cilíndrico. No centro da rotação, onde , a pressão é . A gente precisa mostrar que a pressão em qualquer ponto a uma distância do centro é dada por:
Aqui, é a densidade do fluido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças em um fluido em rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma pequena partícula de fluido a uma distância do centro. Como o fluido está girando, essa partícula sente uma força para fora devido à rotação, chamada de força centrífuga. Além disso, a pressão do fluido exerce uma força para dentro.

Passo 3

Vamos analisar o equilíbrio dessas forças. A força centrífuga por unidade de volume é dada por:
í
E a variação da pressão com a distância gera uma força que age na direção oposta:

Passo 4

No equilíbrio, a força centrífuga é balanceada pela variação da pressão. Ent��o, temos a equação:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração do lado esquerdo nos dá , e do lado direito:

Passo 6

Portanto, temos:
Isolando :

Resposta

A pressão em um ponto a uma distância do centro é:

Exercícios relacionados

Se a água for bombeada para o nível do solo com motor de (5/11) HP (potência 250 pés-lb/s), quanto tempo levará para esvaziar o tanque cheio (arredonde para o minuto mais próximo)?
Um grande tanque de área muito grande é preenchido com água até uma altura . Um pequeno orifício com seção reta , situado no fundo do tanque, permite drenar a água do interior do tanque. Determine:
a) a vazão na saída do orifício ?
(Halliday) Em um tempestade tropical, a medida da velocidade do ar (densidade de ) forneceu o valor de . Calcule a força de sustentação que aplicada no telhado, sabendo que a sua área é de
(Halliday) Em um tempestade tropical, a medida da velocidade do ar (densidade de ) forneceu o valor de . Qual é a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma casa de telhado plano se a direção do vento é tangente ao telhado? Suponha escoamento laminar.