(Halliday) Um fluido gira com velocidade angular constante omega em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Se a pressão vale Pc no eixo de rotação (r=0), mostre que a pressão P(r) em um ponto qualquer a uma distância r vale
P=Pc+12 rho omega^2 r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos um fluido girando com uma velocidade angular constante P = Pc + 12 rho omega^2 r dentro de um reservatório cilíndrico. No centro da rotação, onde , a pressão é . A gente precisa mostrar que a pressão em qualquer ponto a uma distância do centro é dada por:
Aqui, é a densidade do fluido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças em um fluido em rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma pequena partícula de fluido a uma distância do centro. Como o fluido está girando, essa partícula sente uma força para fora devido à rotação, chamada de força centrífuga. Além disso, a pressão do fluido exerce uma força para dentro.

Passo 3

Vamos analisar o equilíbrio dessas forças. A força centrífuga por unidade de volume é dada por:
Fcentrífuga = rho omega^2 r í
E a variação da pressão com a distância dPdr gera uma força que age na direção oposta:

Passo 4

No equilíbrio, a força centrífuga é balanceada pela variação da pressão. Ent��o, temos a equação:
dPdr = rho omega^2 r
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integralPc^P(r) dP = integral0^r rho omega^2 r' , dr'
A integração do lado esquerdo nos dá rho omega^2 integral0^r r' , dr' = rho omega^2 [ 12 r'^2 ]0^r = 12 rho omega^2 r^2 , e do lado direito:

Passo 6

Portanto, temos:
P(r) - Pc = 12 rho omega^2 r^2
Isolando P(r) = Pc + 12 rho omega^2 r^2 :

Resposta

A pressão em um ponto a uma distância P(r) = Pc + 12 rho omega^2 r^2 do centro é:

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