Um grande tanque está cheio de água até uma altura de 5 m . Um pequeno orifício com uma área de 2 cm^2 é feito no fundo do tanque. Desprezando o atrito e assumindo um fluxo ideal, calcule a velocidade inicial com que a água sai do orifício e o tempo que leva para o nível da água cair para 4 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque cheio de água com 5 metros de altura e um orifício no fundo. Precisamos calcular a velocidade inicial com que a água sai desse orifício e quanto tempo leva para o nível da água cair para 4 metros. Vamos usar conceitos de Hidráulica, especificamente a Lei de Torricelli para a velocidade e Cálculo de Vazão para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade inicial com que a água sai do orifício. Para isso, usamos a Lei de Torricelli, que é derivada da equação de Bernoulli. A fórmula da Lei de Torricelli é:
v = raiz2 g h
Onde:
  • é a velocidade da água,
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura da coluna de água acima do orifício.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
v = raiz2 times 9,81 , m/s^2 times 5 , m
v = raiz2 times 9,81 times 5
v = raiz98,1
v approx 9,9 , m/s
Então, a velocidade inicial da água que sai do orifício é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que leva para o nível da água cair de 5 metros para 4 metros. Para isso, vamos considerar que a taxa de saída de água está relacionada à diminuição do volume no tanque.
Sabemos que a taxa de vazão ( Q = A times v ) é:
2 , cm^2 = 2 times 10^-4 , m^2
Onde:
  • Q = 2 times 10^-4 , m^2 times 9,9 , m/s = 1,98 times 10^-3 , m^3/s é a área do orifício,
  • é a velocidade da água.
Primeiro, vamos converter a área do orifício de para metros quadrados:
Então,

Passo 5

Agora, vamos relacionar a taxa de saída com a mudança no volume de água no tanque. Se considerarmos que o tanque tem uma área de superfície dhdt = -QAt , a taxa de variação da altura integral5^4 dhdt = -QAt integral0^t dt é:
dt = -AtQ dh
Mas como não foi dada a área do tanque, vamos supor que ela se cancela ou que estamos interessados somente na variação de altura em função da vazão.
Integrando para encontrar o tempo necessário para a queda de 1 metro:
t = AtQ times (5 - 4) = At1,98 times 10^-3 times 1
Isso simplifica para:
Integrando de 5 a 4 metros:
Como não temos , precisaríamos dessa informação para encontrar o tempo exato. Sem isso, não conseguimos calcular o tempo numericamente.

Resposta

A velocidade inicial da água que sai do orifício é aproximadamente . Para calcular o tempo que leva para o nível da água cair para 4 metros, precisaríamos conhecer a área da superfície do tanque, o que não foi fornecido na questão.

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