Um grande tanque está cheio de água até uma altura de 5 m . Um pequeno orifício com uma área de
é feito no fundo do tanque. Desprezando o atrito e assumindo um fluxo ideal, calcule a velocidade inicial com que a água sai do orifício e o tempo que leva para o nível da água cair para 4 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tanque cheio de água com 5 metros de altura e um orifício no fundo. Precisamos calcular a velocidade inicial com que a água sai desse orifício e quanto tempo leva para o nível da água cair para 4 metros. Vamos usar conceitos de Hidráulica, especificamente a Lei de Torricelli para a velocidade e Cálculo de Vazão para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade inicial com que a água sai do orifício. Para isso, usamos a Lei de Torricelli, que é derivada da equação de Bernoulli. A fórmula da Lei de Torricelli é:
Onde:
-
é a velocidade da água, -
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ), -
é a altura da coluna de água acima do orifício.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a velocidade inicial da água que sai do orifício é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo que leva para o nível da água cair de 5 metros para 4 metros. Para isso, vamos considerar que a taxa de saída de água está relacionada à diminuição do volume no tanque.
Sabemos que a taxa de vazão (
) é:
Onde:
-
é a área do orifício, -
é a velocidade da água.
Primeiro, vamos converter a área do orifício de
para metros quadrados:
Então,
Passo 5
Agora, vamos relacionar a taxa de saída com a mudança no volume de água no tanque. Se considerarmos que o tanque tem uma área de superfície
, a taxa de variação da altura
é:
Mas como não foi dada a área do tanque, vamos supor que ela se cancela ou que estamos interessados somente na variação de altura em função da vazão.
Integrando para encontrar o tempo necessário para a queda de 1 metro:
Isso simplifica para:
Integrando de 5 a 4 metros:
Como não temos
, precisaríamos dessa informação para encontrar o tempo exato. Sem isso, não conseguimos calcular o tempo numericamente.
Resposta
A velocidade inicial da água que sai do orifício é aproximadamente
. Para calcular o tempo que leva para o nível da água cair para 4 metros, precisaríamos conhecer a área da superfície do tanque, o que não foi fornecido na questão.
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