Problem 7.39 Suppose a magnetic monopole
passes through a resistanceless loop of wire with self-inductance
. What current is induced in the loop?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um monopolo magnético
que passa por um laço de fio sem resistência e com indutância própria
. Nosso objetivo é descobrir qual corrente
é induzida nesse laço. Vamos precisar entender conceitos de indução eletromagnética e indutância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday da Indução, que nos diz que uma variação no fluxo magnético
através de um laço de fio induz uma força eletromotriz (fem)
. A fórmula é:
Aqui, o sinal negativo indica que a fem induzida tende a se opor à causa que a produziu, conforme a Lei de Lenz.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa fem induzida com a indutância
do laço. A indutância relaciona a fem induzida com a taxa de variação da corrente
no circuito:
Como o laço é sem resistência, podemos igualar as duas expressões para
:
Passo 4
Vamos agora entender como o fluxo magnético
está mudando quando o monopolo passa pelo laço. Se o monopolo
está se movendo com uma velocidade
, isso provoca uma variação no fluxo magnético. A taxa de variação do fluxo é proporcional à velocidade:
Passo 5
Substituindo
na equação anterior, temos:
Agora, resolvemos essa equação diferencial para encontrar a corrente
.
Passo 6
Rearranjando a equação:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração. Se considerarmos que a corrente inicial
, então
.
Passo 7
Então, a solução para a corrente induzida é:
Isso significa que a corrente cresce linearmente com o tempo enquanto o monopolo passa pelo laço.
Resposta
A corrente induzida no laço é
.