Problem 7.39 Suppose a magnetic monopole qm passes through a resistanceless loop of wire with self-inductance L. What current is induced in the loop?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um monopolo magnético que passa por um laço de fio sem resistência e com indutância própria . Nosso objetivo é descobrir qual corrente é induzida nesse laço. Vamos precisar entender conceitos de indução eletromagnética e indutância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday da Indução, que nos diz que uma variação no fluxo magnético E = -dPhidt através de um laço de fio induz uma força eletromotriz (fem) . A fórmula é:
Aqui, o sinal negativo indica que a fem induzida tende a se opor à causa que a produziu, conforme a Lei de Lenz.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa fem induzida com a indutância E = L dIdt do laço. A indutância relaciona a fem induzida com a taxa de variação da corrente L dIdt = -dPhidt no circuito:
Como o laço é sem resistência, podemos igualar as duas expressões para :

Passo 4

Vamos agora entender como o fluxo magnético dPhidt = qm v está mudando quando o monopolo passa pelo laço. Se o monopolo está se movendo com uma velocidade , isso provoca uma variação no fluxo magnético. A taxa de variação do fluxo é proporcional à velocidade:

Passo 5

Substituindo L dIdt = -qm v na equação anterior, temos:
Agora, resolvemos essa equação diferencial para encontrar a corrente .

Passo 6

Rearranjando a equação:
dIdt = -qm vL
Integrando ambos os lados em relação ao tempo I(t) = -qm vL t + C :
Onde é a constante de integração. Se considerarmos que a corrente inicial , então .

Passo 7

Então, a solução para a corrente induzida é:
I(t) = -qm vL t
Isso significa que a corrente cresce linearmente com o tempo enquanto o monopolo passa pelo laço.

Resposta

A corrente induzida no laço é .

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