Para o grupo de permutações S4.
<(1,2,3)> é um grupo abeliano? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar se o grupo <(1,2,3)> no conjunto de permutações S4 é abeliano. Para isso, vamos utilizar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre grupos cíclicos e propriedades de grupos abelianos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa <(1,2,3)>. Esse símbolo representa o grupo gerado pela permutação (1,2,3). Como estamos em S4, que é o grupo de todas as permutações de 4 elementos, <(1,2,3)> será o conjunto de todas as potências dessa permutação.

Passo 3

Calculando as potências de (1,2,3), temos:
  • (1,2,3)^1 = (1,2,3)
  • (1,2,3)^2 = (1,3,2)
  • (1,2,3)^3 = e (a identidade)
Portanto, <(1,2,3)> = e, (1,2,3), (1,3,2).

Passo 4

Agora, para verificar se <(1,2,3)> é abeliano, precisamos ver se todo par de elementos comuta, ou seja, se para quaisquer a, b in <(1,2,3)>, ab = ba.

Passo 5

Como <(1,2,3)> é um grupo cíclico gerado por uma única permutação, sabemos que grupos cíclicos são sempre abelianos. Isso porque qualquer dois elementos podem ser expressos como potências do mesmo elemento gerador, e potências de um elemento gerador comutam entre si.

Resposta

Sim, o grupo <(1,2,3)> é abeliano, pois todos os elementos comutam entre si.

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