Para o grupo de permutações
.
é um grupo abeliano? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar se o grupo
no conjunto de permutações
é abeliano. Para isso, vamos utilizar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre grupos cíclicos e propriedades de grupos abelianos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo representa o grupo gerado pela permutação
. Como estamos em
, que é o grupo de todas as permutações de 4 elementos,
será o conjunto de todas as potências dessa permutação.
Passo 3
Calculando as potências de
, temos:
-
-
-
(a identidade)
Portanto,
.
Passo 4
Agora, para verificar se
é abeliano, precisamos ver se todo par de elementos comuta, ou seja, se para quaisquer
,
.
Passo 5
Como
é um grupo cíclico gerado por uma única permutação, sabemos que grupos cíclicos são sempre abelianos. Isso porque qualquer dois elementos podem ser expressos como potências do mesmo elemento gerador, e potências de um elemento gerador comutam entre si.
Resposta
Sim, o grupo
é abeliano, pois todos os elementos comutam entre si.