(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de ?
a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pergunta quais subconjuntos são subgrupos cíclicos de . A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a Teoria de Grupos. Vamos precisar entender o que é um subgrupo cíclico e como verificar se um conjunto dado atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é . Esse conjunto é composto pelos números de 0 a 11 com a operação de adição módulo 12. Ou seja, quando somamos dois números, se der mais de 11, a gente volta ao começo, tipo um relógio.
Passo 3
Agora, um subgrupo cíclico é um subconjunto que pode ser gerado a partir de um único elemento. Isso significa que, se a gente pegar um número desse subconjunto e somar ele com ele mesmo várias vezes, a gente consegue obter todo o subconjunto.
Passo 4
Vamos olhar para o subconjunto . Queremos ver se ele é cíclico. Vamos tentar gerar esse conjunto a partir de um único elemento.
Passo 5
Vamos começar com 2 + 2 = 4 . Se somarmos 4 + 2 = 6 consigo mesmo:
6 + 2 = 8
8 + 2 = 10
10 + 2 = 12 = 0
E aí voltamos para . Viu só? A partir de , conseguimos gerar todo o subconjunto.
Passo 6
Além disso, precisamos garantir que esse subconjunto é realmente um subgrupo. Para isso, ele precisa ser fechado sob a operação de adição e ter o elemento identidade . No nosso caso, todas essas condições são satisfeitas.