(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12 ?
a) 0, 2, 4, 6, 8, 10

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta quais subconjuntos são subgrupos cíclicos de . A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a Teoria de Grupos. Vamos precisar entender o que é um subgrupo cíclico e como verificar se um conjunto dado atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é . Esse conjunto é composto pelos números de 0 a 11 com a operação de adição módulo 12. Ou seja, quando somamos dois números, se der mais de 11, a gente volta ao começo, tipo um relógio.

Passo 3

Agora, um subgrupo cíclico é um subconjunto que pode ser gerado a partir de um único elemento. Isso significa que, se a gente pegar um número desse subconjunto e somar ele com ele mesmo várias vezes, a gente consegue obter todo o subconjunto.

Passo 4

Vamos olhar para o subconjunto . Queremos ver se ele é cíclico. Vamos tentar gerar esse conjunto a partir de um único elemento.

Passo 5

Vamos começar com 2 + 2 = 4 . Se somarmos 4 + 2 = 6 consigo mesmo:
6 + 2 = 8
8 + 2 = 10
10 + 2 = 12 = 0
E aí voltamos para . Viu só? A partir de , conseguimos gerar todo o subconjunto.

Passo 6

Além disso, precisamos garantir que esse subconjunto é realmente um subgrupo. Para isso, ele precisa ser fechado sob a operação de adição e ter o elemento identidade . No nosso caso, todas essas condições são satisfeitas.

Resposta

Sim, o subconjunto é um subgrupo cíclico de .

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