(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que se
e
são subgrupos de
, então
também é um subgrupo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
e
são subgrupos de um grupo
, então a interseção desses dois,
, também é um subgrupo de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subgrupos e verificar se
satisfaz os critérios necessários para ser um subgrupo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo. Um subconjunto
de um grupo
é chamado de subgrupo se:
- Contém o elemento identidade de
. - É fechado sob a operação do grupo, ou seja, para quaisquer
, o produto também está em . - É fechado sob a operação de inverso, ou seja, para todo
, o inverso também está em .
Vamos verificar se
atende a esses três critérios.
Passo 3
1. Contém o elemento identidade:
Como
e
são subgrupos de
, ambos contêm o elemento identidade
de
. Portanto,
está em
, já que está em ambos.
Explicação: O elemento identidade é único em
, então se está em ambos os subgrupos, necessariamente está na interseção.
Passo 4
2. Fechamento sob a operação do grupo:
Pegamos dois elementos quaisquer
e
em
. Como
está em
e em
, e
também está em
e em
, ao multiplicarmos
, como
é subgrupo,
está em
. Do mesmo jeito, como
é subgrupo,
está em
. Logo,
está em
.
Explicação: Fechamento significa que ao combinar dois elementos do subconjunto, o resultado também pertence ao subconjunto.
Passo 5
3. Fechamento sob inversos:
Pegamos um elemento
em
. Como
está em
e em
, o inverso
também está em
(porque
é subgrupo) e em
(porque
é subgrupo). Portanto,
está em
.
Explicação: Para cada elemento no subconjunto, seu inverso também deve estar no subconjunto para que seja um subgrupo.
Resposta
Assim, verificamos que
contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e sob inversos. Portanto,
é de fato um subgrupo de
.