(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que se H e K são subgrupos de G, então H cap K também é um subgrupo de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se e são subgrupos de um grupo , então a interseção desses dois, , também é um subgrupo de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subgrupos e verificar se satisfaz os critérios necessários para ser um subgrupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subgrupo. Um subconjunto de um grupo é chamado de subgrupo se:
  1. Contém o elemento identidade de .
  2. É fechado sob a operação do grupo, ou seja, para quaisquer , o produto também está em .
  3. É fechado sob a operação de inverso, ou seja, para todo , o inverso também está em .
Vamos verificar se atende a esses três critérios.

Passo 3

1. Contém o elemento identidade:
Como e são subgrupos de , ambos contêm o elemento identidade de . Portanto, está em , já que está em ambos.
Explicação: O elemento identidade é único em , então se está em ambos os subgrupos, necessariamente está na interseção.

Passo 4

2. Fechamento sob a operação do grupo:
Pegamos dois elementos quaisquer e em . Como está em e em , e também está em e em , ao multiplicarmos , como é subgrupo, está em . Do mesmo jeito, como é subgrupo, está em . Logo, está em .
Explicação: Fechamento significa que ao combinar dois elementos do subconjunto, o resultado também pertence ao subconjunto.

Passo 5

3. Fechamento sob inversos:
Pegamos um elemento em . Como está em e em , o inverso também está em (porque é subgrupo) e em (porque é subgrupo). Portanto, está em .
Explicação: Para cada elemento no subconjunto, seu inverso também deve estar no subconjunto para que seja um subgrupo.

Resposta

Assim, verificamos que contém o elemento identidade, é fechado sob a operação do grupo e sob inversos. Portanto, é de fato um subgrupo de .

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