Um grupo de pesquisadores está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias após t horas de observação pode ser encontrado através da expressão N(t) = 300e2t. Quanto tempo, aproximadamente, após o início da observação, o número de bactérias será de aproximadamente 894000 bactérias? Assinale a alternativa correta. Alternativas:
a)2 horas.
b)4 horas.
c)6 horas.
d)8 horas.
e)10 horas.

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui. Estamos lidando com um problema de crescimento exponencial, que faz parte da matemática, mais especificamente do estudo de funções exponenciais. A equação que nos dá o número de bactérias após $ t $ horas é $ N(t) = 300e^{2t} $. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo levará para que o número de bactérias alcance aproximadamente 894.000.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação $ N(t) = 300e^{2t} $ igual a 894.000 para encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa condição:
N(t) = 300e^2t

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 300:
e^2t = 894.000300
e^2t = 2.980

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos usar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(e^2t) = ln(2.980)

Passo 5

Uma das propriedades dos logaritmos nos diz que $ \ln(e^x) = x $. Portanto, aplicando isso:
ln(e^x) = x

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de $ \ln(2.980) $. Usando uma calculadora, encontramos:
ln(2.980)

Passo 7

Com isso, nossa equação fica:
2t = 1,092
Agora, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar $ t $:
t
t = 1,0922

Passo 8

Entretanto, percebemos que nenhuma das alternativas corresponde a aproximadamente 0,546 horas. Isso sugere que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos rever o Passo 3:
894.000300 = 2.980
Na verdade, $ \frac{894.000}{300} = 2.980 $. Vamos refazer o logaritmo:
894.000300 = 2.980
E assim:
ln(2.980) approx 1,092
2t = 1,092
Parece que há uma inconsistência. Na verdade, ao revisar a equação original, percebemos que a solução está correta, mas as opções apresentadas talvez não correspondam ao cálculo. Vamos verificar se há um erro na interpretação da equação.

Passo 9

Vamos considerar que a equação dada possa estar relacionada a bactérias duplicando a cada determinado período. Talvez $ N(t) = 300 \times 2^{t} $, mas conforme o enunciado, é $ N(t) = 300e^{2t} $. Confirmando os cálculos novamente:
N(t) = 300 times 2^t
N(t) = 300e^2t
e^2t = 2.980
Parece que o tempo necessário para alcançar 894.000 bactérias é de aproximadamente 0,546 horas, ou seja, pouco mais de 32 minutos. No entanto, nenhuma das alternativas corresponde a esse valor, indicando que pode haver um erro no enunciado ou nas opções fornecidas.

Resposta

Nenhuma das alternativas corresponde aproximadamente a 0,546 horas. Verifique o enunciado ou as opções fornecidas.

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