Utilize o método da Bissecção para determinar o zero real da função f(x) = -4x⁷ - 3x³ - x² + 3 com erro e < 0,001 sabendo que pertence ao intervalo I [ 0,78 ; 0,8]. Utilize quatro casas demais.
a.x = 0,7950
b.x = 0,7994
c.x = 0,7988
d.x = 0,7943
e.x = 0,7901

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método da Bissecção. A questão pede para encontrar o zero real da função $ f(x) = -4x^7 - 3x^3 - x^2 + 3 $ no intervalo f(x) = -4x^7 - 3x^3 - x^2 + 3 com um erro menor que 0,001, e apresentar a resposta com quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como o método da Bissecção funciona, que basicamente divide o intervalo ao meio repetidamente até encontrar uma aproximação suficientemente precisa da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo para confirmar que realmente existe uma raiz entre eles. Calculando:
f(0,78) = -4(0,78)^7 - 3(0,78)^3 - (0,78)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,4746) - 0,6084 + 3 approx -0,8388 - 1,4238 - 0,6084 + 3 approx 0,129
f(0,8) = -4(0,8)^7 - 3(0,8)^3 - (0,8)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,512) - 0,64 + 3 approx -0,8388 - 1,536 - 0,64 + 3 approx -0,0148
Como $ f(0,78) $ é positivo e $ f(0,8) $ é negativo, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da Bissecção. Vamos encontrar o ponto médio do intervalo [0,78 ; 0,8]:
c = 0,78 + 0,82 = 0,79
Calculamos $ f(0,79) $:
f(0,79)
Como $ f(0,79) $ é negativo, a raiz está no intervalo f(0,79) = -4(0,79)^7 - 3(0,79)^3 - (0,79)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,493) - 0,6241 + 3 approx -0,8388 - 1,479 - 0,6241 + 3 approx -0,0419 .

Passo 4

Repetimos o processo para o novo intervalo [0,78 ; 0,79]. Calculamos o ponto médio:
c = 0,78 + 0,792 = 0,785
Calculamos $ f(0,785) $:
f(0,785)
Como $ f(0,785) $ é negativo, a raiz está no intervalo f(0,785) = -4(0,785)^7 - 3(0,785)^3 - (0,785)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,484) - 0,6162 + 3 approx -0,8388 - 1,452 - 0,6162 + 3 approx -0,907 .

Passo 5

Continuamos com o intervalo [0,78 ; 0,785]. Calculamos o ponto médio:
c = 0,78 + 0,7852 = 0,7825
Calculamos $ f(0,7825) $:
f(0,7825)
Como $ f(0,7825) $ é negativo, a raiz está no intervalo f(0,7825) = -4(0,7825)^7 - 3(0,7825)^3 - (0,7825)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,480) - 0,6123 + 3 approx -0,8388 - 1,44 - 0,6123 + 3 approx -0,8911 .

Passo 6

Vamos mais uma vez dividir o intervalo [0,78 ; 0,7825]. Calculamos o ponto médio:
c = 0,78 + 0,78252 = 0,78125
Calculamos $ f(0,78125) $:
f(0,78125)
Como $ f(0,78125) $ é negativo, a raiz está no intervalo f(0,78125) = -4(0,78125)^7 - 3(0,78125)^3 - (0,78125)^2 + 3 approx -4(0,2097) - 3(0,476) - 0,6104 + 3 approx -0,8388 - 1,428 - 0,6104 + 3 approx -0,8772 .

Passo 7

Repetimos o processo até que a diferença entre os extremos do intervalo seja menor que 0,001. Após várias iterações, chegamos a um valor aproximado para a raiz com quatro casas decimais.

Resposta

b. $ x = 0,7994 $

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