Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para um cinema. A primeira pessoa na fila é uma mulher e a última é um homem. Aplique a prova por indução para mostrar que, em algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um homem.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício é sobre um grupo de pessoas que está na fila para comprar ingressos de cinema. A primeira pessoa na fila é uma mulher e a última é um homem. A gente precisa usar a prova por indução matemática para mostrar que, em algum ponto dessa fila, uma mulher está diretamente na frente de um homem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é prova por indução e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é prova por indução. Basicamente, é uma técnica matemática usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo. Na base, a gente mostra que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso (geralmente quando n = 1). No passo indutivo, assumimos que a afirmação é verdadeira para um caso qualquer n e, a partir disso, mostramos que ela também é verdadeira para n + 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Vamos considerar que cada posição na fila pode ser representada por um número natural, começando de 1 (a primeira pessoa) até n (a última pessoa). Nossa afirmação é que existe pelo menos uma posição k na fila, onde a pessoa na posição k é uma mulher e a pessoa na posição k + 1 é um homem.

Passo 4

Base da indução: Vamos começar com o menor número possível de pessoas na fila, que é 2. Se temos apenas 2 pessoas, a primeira é uma mulher e a segunda é um homem. Então, claramente, a mulher está diretamente na frente do homem. Ou seja, a afirmação é verdadeira para n = 2.
Passo indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para uma fila com n pessoas, ou seja, que existe pelo menos uma posição k onde uma mulher está na frente de um homem. Precisamos mostrar que, para uma fila com n + 1 pessoas, essa afirmação também é verdadeira.
Considere uma fila com n + 1 pessoas, onde a primeira pessoa é uma mulher e a última é um homem. Se retirarmos a última pessoa (o homem) da fila, sob a nossa suposição, na fila com n pessoas, já existe uma posição k onde uma mulher está na frente de um homem. Quando retornamos o homem à fila, ele está na posição n + 1, e a pessoa que estava na posição n agora está na posição n + 1. Se essa pessoa for uma mulher, então temos uma mulher na posição n e um homem na posição n + 1, o que satisfaz nossa afirmação. Se não for uma mulher, então, pela nossa suposição inicial, já existia uma posição k < n onde uma mulher está na frente de um homem. Portanto, a afirmação se mantém para n + 1.

Resposta

Portanto, usando a prova por indução, mostramos que em uma fila onde a primeira pessoa é uma mulher e a última é um homem, sempre existe pelo menos uma posição onde uma mulher está diretamente na frente de um homem.

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