Prove que todo inteiro positivo pode ser expresso como a soma de números de Fibonacci distintos.
Por exemplo, , onde 2, 5,13 são, obviamente, números de Fibonacci. Embora possamos escrever , isso não ilustra o resultado, porque utilizamos 5 duas vezes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que todo número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de números de Fibonacci distintos. Isso faz parte da teoria dos números e especialmente lida com sequências como a de Fibonacci. Para resolver isso, vamos precisar entender primeiro o que são números de Fibonacci e como podemos combiná-los para formar qualquer número inteiro positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os números de Fibonacci. A sequência de Fibonacci começa com 0 e 1, e cada número seguinte é a soma dos dois anteriores. Então, temos:
Para este problema, consideraremos os números de Fibonacci positivos, ou seja, a partir de 1:

Passo 3

Agora, a ideia é mostrar que qualquer número inteiro positivo pode ser decomposto em uma soma de números de Fibonacci distintos, ou seja, sem repetir nenhum número na soma. Por exemplo, 20 pode ser escrito como , onde 2, 5 e 13 são todos números de Fibonacci diferentes.

Passo 4

Vamos usar o princípio da indução matemática para provar isso. A indução consiste em dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente o menor número considerado.
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um número qualquer e, em seguida, mostrar que ela também é verdadeira para .

Passo 5

Base da indução: Vamos verificar para . O número 1 já é um número de Fibonacci, então podemos escrever 1 como uma soma de apenas ele mesmo. Portanto, a base da indução é verdadeira.

Passo 6

Passo indutivo: Suponha que qualquer número inteiro positivo até possa ser escrito como uma soma de números de Fibonacci distintos. Agora, vamos mostrar que também pode ser escrito dessa forma.
Para isso, encontramos o maior número de Fibonacci que é menor ou igual a e subtraímos esse número de . O resultado será um número menor que , para o qual, pela hipótese de indução, já sabemos que pode ser escrito como uma soma de números de Fibonacci distintos. Assim, somando o maior número de Fibonacci encontrado no início, temos que também pode ser escrito como uma soma de números de Fibonacci distintos.

Resposta

Portanto, por indução matemática, todo inteiro positivo pode ser expresso como a soma de números de Fibonacci distintos.

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