Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é . Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Temos uma raiz dupla .
Passo 4
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 6
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Passo 7
Usamos a fórmula da variação dos parâmetros:
onde e são funções a serem encontradas.
Passo 8
Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 9
As fórmulas para e são:
Passo 10
Integrando e para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas para simplificação, vamos deixar em termos de integrais.
Passo 11
A solução particular fica:
Passo 12
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 13
Finalmente, definimos o intervalo de validade. A solução é válida para devido ao termo na equação original.