Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é . Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 6

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:

Passo 7

Usamos a fórmula da variação dos parâmetros:
onde e são funções a serem encontradas.

Passo 8

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:

Passo 9

As fórmulas para e são:

Passo 10

Integrando e para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes, mas para simplificação, vamos deixar em termos de integrais.

Passo 11

A solução particular fica:

Passo 12

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 13

Finalmente, definimos o intervalo de validade. A solução é válida para devido ao termo na equação original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
válida para .

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