Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, n é um inteiro positivo.
9 + 9 * 10 + 9 * 100 + ... + 9 * 10^(n-1) = 10^n - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma é igual a para qualquer número inteiro positivo . Isso envolve o princípio da indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando .
Quando :
E .
Portanto, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, queremos provar que:

Passo 5

Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Vamos adicionar em ambos os lados:

Passo 6

Simplificando o lado esquerdo:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para .

Passo 7

Como verificamos que a afirmação é verdadeira para e mostramos que, se é verdadeira para , então também é para , pelo princípio da indução matemática, concluímos que a afirmação é válida para todo número inteiro positivo .

Resposta

Portanto, comprovamos que para qualquer inteiro positivo .

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