Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma é igual a para qualquer número inteiro positivo . Isso envolve o **princípio da indução matemática**, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando . Quando : E . Portanto, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo . Ou seja, vamos supor que: Essa suposição é chamada de **hipótese de indução**.

Passo 4

Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, queremos provar que:

Passo 5

Usando a hipótese de indução, sabemos que: Vamos adicionar em ambos os lados:

Passo 6

Simplificando o lado esquerdo: Isso mostra que a igualdade é verdadeira para .

Passo 7

Como verificamos que a afirmação é verdadeira para e mostramos que, se é verdadeira para , então também é para , pelo **princípio da indução matemática**, concluímos que a afirmação é válida para todo número inteiro positivo .

Resposta

Portanto, comprovamos que para qualquer inteiro positivo .

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