Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma é igual a para qualquer número inteiro positivo . Isso envolve o **princípio da indução matemática**, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando .
Quando :
E .
Portanto, para , a igualdade é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de **hipótese de indução**.
Passo 4
Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, queremos provar que:
Passo 5
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Vamos adicionar em ambos os lados:
Passo 6
Simplificando o lado esquerdo:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para .
Passo 7
Como verificamos que a afirmação é verdadeira para e mostramos que, se é verdadeira para , então também é para , pelo **princípio da indução matemática**, concluímos que a afirmação é válida para todo número inteiro positivo .
Resposta
Portanto, comprovamos que para qualquer inteiro positivo .
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