Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma
é igual a
para qualquer número inteiro positivo
. Isso envolve o princípio da indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando
.
Quando
:
E
.
Portanto, para
, a igualdade
é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Ou seja, queremos provar que:
Passo 5
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Vamos adicionar
em ambos os lados:
Passo 6
Simplificando o lado esquerdo:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira para
.
Passo 7
Como verificamos que a afirmação é verdadeira para
e mostramos que, se é verdadeira para
, então também é para
, pelo princípio da indução matemática, concluímos que a afirmação é válida para todo número inteiro positivo
.
Resposta
Portanto, comprovamos que
para qualquer inteiro positivo
.