Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
4 y'' - 4 y' + y = e^(5/2) * raiz(1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado nos dá a equação . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e definir um intervalo em que essa solução seja válida. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método assume que os coeficientes da solução homogênea podem variar e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea: e .
Segundo o método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:

Passo 8

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos a condição:
Isso simplifica a expressão de para:

Passo 9

Substituindo , e na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para e .
Após cálculos, encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas:

Passo 10

Agora, calculamos e :
Esse integral pode ser complexo e, dependendo do nível do curso, pode ser resolvido numericamente ou aproximado.

Passo 11

Após encontrar e , substituímos de volta na expressão de :

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e , são funções determinadas pelo método da variação dos parâmetros. A solução geral é válida no intervalo onde , ou seja, para .

Exercícios relacionados