Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado nos dá a equação
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e definir um intervalo em que essa solução seja válida. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método assume que os coeficientes da solução homogênea podem variar e são funções a serem determinadas.
Passo 7
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
e
.
Segundo o método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso simplifica a expressão de
para:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para
e
.
Após cálculos, encontramos:
onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 10
Agora, calculamos
e
:
Esse integral pode ser complexo e, dependendo do nível do curso, pode ser resolvido numericamente ou aproximado.
Passo 11
Após encontrar
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
são funções determinadas pelo método da variação dos parâmetros. A solução geral é válida no intervalo onde
, ou seja, para
.