Prove que o Elemento Identidade é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que o Elemento Identidade é único em um grupo. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é o elemento identidade e como provar que não pode ter mais de um identidade nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação binária (como soma ou multiplicação) que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do grupo e aplicar a operação, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A operação é associativa, ou seja, para todos em .
  3. Elemento identidade: Existe um elemento no grupo, chamado de identidade, que não muda os outros elementos quando a operação é aplicada. Se chamarmos a identidade de , então para todo em .
  4. Elementos inversos: Para cada elemento no grupo, existe um inverso que, quando operado com ele, resulta na identidade.

Passo 3

Agora, vamos focar no elemento identidade. A questão quer que a gente prove que esse elemento identidade é único, ou seja, não pode ter dois elementos diferentes que funcionem como identidade no mesmo grupo.

Passo 4

Vamos supor, para chegar à prova, que existem dois elementos identidades diferentes no grupo. Vamos chamar esses elementos de e .

Passo 5

Segundo a definição de identidade:
  • é identidade, então (porque não muda ).
  • Da mesma forma, é identidade, então (porque não muda ).

Passo 6

Agora, temos duas equações:

Passo 7

Perceba que as duas expressões e estão relacionadas. Mas, pela definição de grupo, a operação é associativa e a identidade funciona de forma consistente.

Passo 8

Vamos igualar as duas expressões:
e' = e cdot e' = e
Isso significa que é igual a .

Passo 9

Chegamos à conclusão de que os dois supostos elementos identidade e são, na verdade, o mesmo elemento.

Resposta

Portanto, o elemento identidade em um grupo é único.

Exercícios relacionados

Seja lambda a seguinte permutação de S10 :
lambda=(cccccccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 )
Calcule a ordem de lambda e a potência lambda^2017.
O grupo (Z5 ^*, . ) é cíclico?
Sejam a, x, y in(G, *). Prove que:
a * x=a * y Rightarrow x=y
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) (P(X), *), onde
P(X) : conjunto das partes de um conjunto X e (^*) é a operação interseção entre conjuntos.