Prove que o Elemento Identidade é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que o Elemento Identidade é único em um grupo. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente da Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é o elemento identidade e como provar que não pode ter mais de um identidade nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto
junto com uma operação binária (como soma ou multiplicação) que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do grupo e aplicar a operação, o resultado também está no grupo.
- Associatividade: A operação é associativa, ou seja,
para todos em . - Elemento identidade: Existe um elemento no grupo, chamado de identidade, que não muda os outros elementos quando a operação é aplicada. Se chamarmos a identidade de
, então para todo em . - Elementos inversos: Para cada elemento no grupo, existe um inverso que, quando operado com ele, resulta na identidade.
Passo 3
Agora, vamos focar no elemento identidade. A questão quer que a gente prove que esse elemento identidade é único, ou seja, não pode ter dois elementos diferentes que funcionem como identidade no mesmo grupo.
Passo 4
Vamos supor, para chegar à prova, que existem dois elementos identidades diferentes no grupo. Vamos chamar esses elementos de
e
.
Passo 5
Segundo a definição de identidade:
-
é identidade, então (porque não muda ). - Da mesma forma,
é identidade, então (porque não muda ).
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Passo 7
Perceba que as duas expressões
e
estão relacionadas. Mas, pela definição de grupo, a operação é associativa e a identidade funciona de forma consistente.
Passo 8
Vamos igualar as duas expressões:
Isso significa que
é igual a
.
Passo 9
Chegamos à conclusão de que os dois supostos elementos identidade
e
são, na verdade, o mesmo elemento.
Resposta
Portanto, o elemento identidade em um grupo é único.
Exercícios relacionados
Seja
a seguinte permutação de
:
Calcule a ordem de
e a potência
.
O grupo
, .
é cíclico?
Sejam
. Prove que:
Verifique em cada item abaixo se o conjunto dado com a operação dada é um grupo. Justifique.
d) , onde
: conjunto das partes de um conjunto
e
é a operação interseção entre conjuntos.
d)