O guindaste pode ser ajustado para qualquer ângulo 0 <= theta <= 90^circ e qualquer extensão 0 <= x <= 5 m. Para uma massa suspensa de 120 kg , determine o momento desenvolvido em A como função de x e theta. Quais valores de x e theta conduzem ao máximo momento possível em A? Calcule esse momento. (Hb. 4-6)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um guindaste que pode ajustar seu braço em qualquer ângulo entre 0° e 90°, e pode estender de 0 até 5 metros. A gente precisa calcular o momento (ou torque) que é desenvolvido no ponto A quando uma massa de 120 kg está suspensa. Além disso, queremos descobrir quais valores de extensão x e ângulo theta vão fazer esse momento ser o máximo possível, e também calcular esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre momento e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento ou torque. O momento ( M) é uma medida da força que está causando a rotação em torno de um ponto. A fórmula para calcular o momento é:
M = F times d
onde F é a força aplicada e d é a distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto de rotação.

Passo 3

No nosso caso, a força ( F) é o peso da massa suspensa. O peso é calculado pela fórmula:
F = m times g
onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 , m/s^2). Então:
F = 120 , kg times 9,81 , m/s^2 = 1177,2 , N

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a distância perpendicular ( d) para calcular o momento. O braço de alavanca efetivo é a projeção da extensão x do guindaste na direção perpendicular à força. Isso significa que:
d = x times sin(theta)
onde theta é o ângulo de inclinação do guindaste.

Passo 5

Substituindo F e d na fórmula do momento, temos:
M = F times d = 1177,2 , N times (x times sin(theta)) = 1177,2 , N times x times sin(theta)
Então, a função do momento em termos de x e theta é:
M(x, theta) = 1177,2 , x times sin(theta)

Passo 6

Para encontrar os valores de x e theta que maximizam o momento, vamos analisar a função M(x, theta). Sabemos que x pode variar de 0 a 5 metros e theta de 0° a 90°.
O momento será máximo quando tanto x quanto sin(theta) forem máximos dentro de seus intervalos. Isso acontece quando:
  • x = 5 metros (máximo valor de x)
  • theta = 90° (máximo valor de sin(theta), que é 1)

Passo 7

Agora, vamos calcular o momento máximo usando esses valores:
Mmáximo = 1177,2 , N times 5 , m times sin(90°) á
Como sin(90°) = 1, simplificamos para:
Mmáximo = 1177,2 , N times 5 , m = 5886 , Ncdotm á

Resposta

O momento desenvolvido em A como função de x e theta é M(x, theta) = 1177,2 , x times sin(theta). Os valores que conduzem ao máximo momento são x = 5 , m e theta = 90°, resultando em um momento máximo de 5886 , Ncdotm.

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