guindaste pode ser ajustado para qualquer ângulo
e qualquer extensão
. Para uma massa suspensa de 120 kg , determine o momento desenvolvido em A como função de
e
. Quais valores de
e
conduzem ao máximo momento possível em A? Calcule esse momento. (Hb. 4-6)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um guindaste que pode ajustar seu braço em qualquer ângulo entre 0° e 90°, e pode estender de 0 até 5 metros. A gente precisa calcular o momento (ou torque) que é desenvolvido no ponto A quando uma massa de 120 kg está suspensa. Além disso, queremos descobrir quais valores de extensão
e ângulo
vão fazer esse momento ser o máximo possível, e também calcular esse valor máximo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre momento e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento ou torque. O momento (
) é uma medida da força que está causando a rotação em torno de um ponto. A fórmula para calcular o momento é:
onde
é a força aplicada e
é a distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto de rotação.
Passo 3
No nosso caso, a força (
) é o peso da massa suspensa. O peso é calculado pela fórmula:
onde
é a massa e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
). Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a distância perpendicular (
) para calcular o momento. O braço de alavanca efetivo é a projeção da extensão
do guindaste na direção perpendicular à força. Isso significa que:
onde
é o ângulo de inclinação do guindaste.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do momento, temos:
Então, a função do momento em termos de
e
é:
Passo 6
Para encontrar os valores de
e
que maximizam o momento, vamos analisar a função
. Sabemos que
pode variar de 0 a 5 metros e
de 0° a 90°.
O momento será máximo quando tanto
quanto
forem máximos dentro de seus intervalos. Isso acontece quando:
-
= 5 metros (máximo valor de ) -
= 90° (máximo valor de , que é 1)
Passo 7
Agora, vamos calcular o momento máximo usando esses valores:
Como
, simplificamos para:
Resposta
O momento desenvolvido em A como função de
e
é
. Os valores que conduzem ao máximo momento são
e
, resultando em um momento máximo de
.