h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir qual é a sua derivada, ou seja, . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de derivação de funções onde a base e o expoente são funções do . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando diferenciação logarítmica, que é uma técnica bem útil nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da função para facilitar a derivação. Assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, a derivada de usando a regra da cadeia é:
No lado direito, temos o produto de e . Vamos usar a regra do produto para derivar:

Passo 5

Vamos calcular cada parte da derivada no lado direito:
  1. A derivada de é 1:
  1. A derivada de usa a regra da cadeia:
Então, multiplicando por :

Passo 6

Juntando as duas partes derivadas, temos:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

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c)
m)
n)
d)