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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos descobrir qual é a sua derivada, ou seja,
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de derivação de funções onde a base e o expoente são funções do
. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando diferenciação logarítmica, que é uma técnica bem útil nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da função para facilitar a derivação. Assim:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, a derivada de
usando a regra da cadeia é:
No lado direito, temos o produto de
e
. Vamos usar a regra do produto para derivar:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da derivada no lado direito:
- A derivada de
é 1:
- A derivada de
usa a regra da cadeia:
Então, multiplicando por
:
Passo 6
Juntando as duas partes derivadas, temos:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é:
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c)
m)
n)
d)