h) f(x) = cotg(x) / (1 + cotg(x)) R: f'(x) = -cossec^2(x) / (1 + cotg(x))

Passo 1

Então, a gente tem a função e a tarefa é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente e a derivada da função cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função do tipo , onde:
Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
  • A derivada de é
  • A derivada de é (já que a derivada de 1 é 0)

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra do Quociente:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é .

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