(h) lim x 0^-[1-cossec(x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função cosecante ( ) e como ela se comporta quando se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a cosecante é o inverso do seno. Ou seja, 1 - csc(x) = 1 - 1sin(x) . Então, podemos reescrever a expressão original assim:
Agora, nosso objetivo é descobrir o que acontece com essa expressão quando se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de perto de 0. Sabemos que se aproxima de 0 quando se aproxima de 0. Além disso, como estamos vindo da esquerda ( ), é negativo, então também será negativo e se aproximará de 0 pelo lado negativo.

Passo 4

Agora, vamos olhar para . Como está se aproximando de 0 pelo lado negativo, o inverso vai se aproximar de . Isso porque quanto mais se aproxima de 0 pelo lado negativo, maior o valor absoluto de de forma negativa.

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:
1 - 1sin(x) approx 1 - (-infty) = 1 + infty = infty
Portanto, quando se aproxima de 0 pela esquerda, a expressão cresce sem limites positivos.

Resposta

O limite é .

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