h) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a região que está limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo de áreas por integração, que envolve integrar a função que define a curva entre os limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma função polinomial que desenha uma curva no plano cartesiano. O eixo atua como uma das bordas da região que queremos calcular, e as retas e definem os limites horizontais dessa região.
Passo 3
Para encontrar a área da região , vamos integrar a função em relação a de até . A fórmula para a área é:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos dividir a fração para facilitar a integração:
Passo 5
Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar ao calcular a área definida.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de a :
Passo 7
Calculando os valores dentro dos colchetes:
Para :
Para :
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da área:
Passo 9
Espere aí! O resultado deu zero, o que não faz sentido para uma área. Isso aconteceu porque a função é simétrica em relação ao eixo e temos áreas positivas e negativas que se cancelam. Para encontrar a área total, precisamos considerar o valor absoluto da função.
Passo 10
Vamos reescrever a integral considerando o módulo de :
Devido à simetria, podemos calcular de a e multiplicar por :