h) é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a região que está limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo de áreas por integração, que envolve integrar a função que define a curva entre os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma função polinomial que desenha uma curva no plano cartesiano. O eixo atua como uma das bordas da região que queremos calcular, e as retas e definem os limites horizontais dessa região.

Passo 3

Para encontrar a área da região , vamos integrar a função em relação a de até . A fórmula para a área é:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos dividir a fração para facilitar a integração:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar ao calcular a área definida.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :

Passo 7

Calculando os valores dentro dos colchetes:
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da área:

Passo 9

Espere aí! O resultado deu zero, o que não faz sentido para uma área. Isso aconteceu porque a função é simétrica em relação ao eixo e temos áreas positivas e negativas que se cancelam. Para encontrar a área total, precisamos considerar o valor absoluto da função.

Passo 10

Vamos reescrever a integral considerando o módulo de :
Devido à simetria, podemos calcular de a e multiplicar por :

Passo 11

Resolvendo a integral novamente:

Passo 12

Multiplicando pelo fator :

Resposta

A área da região é unidades de área.

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а)
i) A é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
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