Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o domínio e o recorrido da função
. Isso tudo está dentro da matemática de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa domínio e recorrido, além de trabalhar com expressões que envolvem raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de
e
que fazem a função existir e dar um resultado válido.
Olha só a função:
. Aqui, temos uma raiz quadrada no denominador. Para que essa expressão faça sentido, o que está dentro da raiz (
) precisa ser maior que zero. Por quê? Porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, e não dá pra dividir por zero.
Então, vamos estabelecer a condição:
Isso quer dizer que todos os pares
que satisfazem essa desigualdade pertencem ao domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o recorrido da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Olha a função de novo:
. Sabemos que
, então
é sempre um número positivo. Quando você tem
dividido por um número positivo, o resultado também é um número positivo.
Além disso, quanto maior o valor de
, menor será o valor de
, aproximando-se de zero. Por outro lado, quanto
se aproxima de zero,
fica cada vez maior, tendendo ao infinito.
Portanto,
pode ser qualquer número real positivo.
Resposta
O domínio da função é todos os pares de números reais
que satisfazem
. O recorrido da função é todo número real positivo, ou seja,
.