Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = 1/(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde o domínio são os valores de e que a função aceita, e o recorrido são os possíveis valores que a função pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos que:

Passo 3

Vamos resolver a condição :
Isso significa que o domínio é todo o conjunto de pontos no plano, exceto aqueles onde . Geometricamente, isso corresponde a todo o plano menos a linha reta que passa pela origem com inclinação -1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o recorrido da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. A função é:
Sabemos que pode ser qualquer número real, exceto zero (por causa do domínio). Então, o denominador pode ser qualquer número real diferente de zero.

Passo 5

Quando consideramos , se tende a zero, tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção de aproximação. Se é positivo ou negativo, pode assumir qualquer valor real, exceto zero, já que não existe tal que .

Passo 6

Portanto, o recorrido da função é todos os números reais, exceto zero.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares tais que .
  • Recorrido: Todos os números reais exceto .

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