Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde o domínio são os valores de
e
que a função aceita, e o recorrido são os possíveis valores que a função pode produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos que:
Passo 3
Vamos resolver a condição
:
Isso significa que o domínio é todo o conjunto de pontos
no plano, exceto aqueles onde
. Geometricamente, isso corresponde a todo o plano menos a linha reta que passa pela origem com inclinação -1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o recorrido da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. A função é:
Sabemos que
pode ser qualquer número real, exceto zero (por causa do domínio). Então, o denominador pode ser qualquer número real diferente de zero.
Passo 5
Quando consideramos
, se
tende a zero,
tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção de aproximação. Se
é positivo ou negativo,
pode assumir qualquer valor real, exceto zero, já que não existe
tal que
.
Passo 6
Portanto, o recorrido da função é todos os números reais, exceto zero.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
tais que . - Recorrido: Todos os números reais exceto
.