|2x - 5| - |x - 2| <= 3x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui estamos lidando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender quando as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Ou seja, vamos identificar os pontos onde e , que nos dirão onde quebrar a inequação em casos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos são zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos: , e . Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos.

Passo 3

Caso 1:
Nesse intervalo:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Isolando :
Como estamos no intervalo , a solução nesse caso é:

Passo 4

Caso 2:
Nesse intervalo:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Isolando :
Como estamos no intervalo , a solução nesse caso é:

Passo 5

Caso 3:
Nesse intervalo:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Isolando :
Como estamos no intervalo , a solução nesse caso é:

Resposta

A solução da inequação é:
Ou seja, todo .

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