Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al paraboloide en el punto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos um paraboloide dado pela equação e um ponto específico . Precisamos encontrar duas coisas:
A equação do plano tangente ao paraboloide nesse ponto.
A equação de uma reta normal ao paraboloide nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para determinar o vetor normal ao paraboloide no ponto dado. Esse vetor nos ajudará a construir tanto o plano tangente quanto a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide de forma que fique igual a zero:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 3
No ponto , vamos avaliar essas derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal ao paraboloide no ponto é:
Passo 4
Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal .
A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor normal.
Então, substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente ao paraboloide no ponto é: