Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = raiz(3 - x^2 - 2y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como trabalhar com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Então, temos que:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre e . Podemos reescrever a inequação assim:
Essa é a equação de uma elipse no plano , onde os valores de e estão limitados dentro dessa curva.

Passo 4

Agora, para visualizar melhor, podemos dividir a inequação por 3:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento na direção do e na direção do .

Passo 5

Então, o domínio da função é todo o conjunto de pares que satisfazem a desigualdade . Em outras palavras:

Passo 6

Agora, vamos para o recorrido da função. O recorrido é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir. Como a função é uma raiz quadrada, seus valores são sempre maiores ou iguais a zero.
Além disso, o maior valor que a expressão dentro da raiz pode ter é 3 (quando e ):

Passo 7

Portanto, o menor valor de é 0 (quando ) e o maior valor é . Assim, o recorrido da função é:

Resposta

Domínio:
Recorrido:

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