Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o recorrido da função
. Isso envolve entender um pouco sobre funções de duas variáveis e como trabalhar com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Então, temos que:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre
e
. Podemos reescrever a inequação assim:
Essa é a equação de uma elipse no plano
, onde os valores de
e
estão limitados dentro dessa curva.
Passo 4
Agora, para visualizar melhor, podemos dividir a inequação por 3:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento
na direção do
e
na direção do
.
Passo 5
Então, o domínio da função
é todo o conjunto de pares
que satisfazem a desigualdade
. Em outras palavras:
Passo 6
Agora, vamos para o recorrido da função. O recorrido é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir. Como a função é uma raiz quadrada, seus valores são sempre maiores ou iguais a zero.
Além disso, o maior valor que a expressão dentro da raiz pode ter é 3 (quando
e
):
Passo 7
Portanto, o menor valor de
é 0 (quando
) e o maior valor é
. Assim, o recorrido da função é:
Resposta
Domínio:
Recorrido: