Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio e o recorrido da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis, especificamente envolvendo a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (recorrido).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de
e
para os quais a função está definida.
Passo 3
Dentro da função, temos a expressão
dentro da função arco-tangente. Precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque divisão por zero não é definida.
Passo 4
Então, temos a condição:
Isso significa que
não pode ser igual a
.
Passo 5
Portanto, o domínio da função são todos os pares
tais que
. Em forma de conjunto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o recorrido da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
Passo 7
A função arco-tangente,
, tem como recorrido o intervalo
. Isso significa que, independente do valor de
,
sempre estará entre
e
.
Passo 8
No nosso caso,
pode assumir qualquer número real, já que
. Portanto, o recorrido da função
será o mesmo da função arco-tangente.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares reais
onde
, ou seja:
O recorrido da função é o intervalo: