Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = Arctg(x / (x + y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio e o recorrido da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis, especificamente envolvendo a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (recorrido).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de e para os quais a função está definida.

Passo 3

Dentro da função, temos a expressão dentro da função arco-tangente. Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é definida.

Passo 4

Então, temos a condição:
Isso significa que não pode ser igual a .

Passo 5

Portanto, o domínio da função são todos os pares tais que . Em forma de conjunto:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o recorrido da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.

Passo 7

A função arco-tangente, , tem como recorrido o intervalo . Isso significa que, independente do valor de , sempre estará entre e .

Passo 8

No nosso caso, pode assumir qualquer número real, já que . Portanto, o recorrido da função será o mesmo da função arco-tangente.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares reais onde , ou seja:
O recorrido da função é o intervalo:

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