Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
(2x^2 + x + 1) / (x - 1) > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação . Esse tipo de problema está na matéria de Inequações Racionais. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de que fazem essa fração ser maior que zero, ou seja, positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde o numerador e o denominador são iguais a zero, porque nesses pontos a expressão pode mudar de sinal.
Numerador:
Denominador:
Resolvendo o denominador:
Então, é uma restrição, pois não podemos dividir por zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver o numerador :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Como , a equação não tem raízes reais. Isso significa que o numerador nunca é zero e, por isso, seu sinal é sempre positivo (já que o coeficiente de é positivo).

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da fração :
  • Numerador: sempre positivo.
  • Denominador: muda de sinal em .
Então, a fração é positiva quando o denominador é positivo e negativa quando o denominador é negativo.

Passo 5

Vamos dividir a linha dos números em intervalos, usando o ponto crítico :
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
Agora, vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal da fração.
  • Para : Vamos escolher
Então, no intervalo , a fração é negativa.
  • Para : Vamos escolher
Então, no intervalo , a fração é positiva.

Passo 6

Como a inequação é , estamos buscando onde a fração é positiva. Pelo que vimos:
  • Positiva em:
  • Negativa em:
Também, não está incluído porque a fração não está definida nesse ponto.

Resposta

A solução da inequação é .

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