Resolva as inequações abaixo e forneça as respostas usando notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação
. Esse tipo de problema está na matéria de Inequações Racionais. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de
que fazem essa fração ser maior que zero, ou seja, positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde o numerador e o denominador são iguais a zero, porque nesses pontos a expressão pode mudar de sinal.
Numerador:
Denominador:
Resolvendo o denominador:
Então,
é uma restrição, pois não podemos dividir por zero.
Passo 3
Agora, vamos resolver o numerador
:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Como
, a equação não tem raízes reais. Isso significa que o numerador nunca é zero e, por isso, seu sinal é sempre positivo (já que o coeficiente de
é positivo).
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da fração
:
- Numerador: sempre positivo.
- Denominador: muda de sinal em
.
Então, a fração é positiva quando o denominador é positivo e negativa quando o denominador é negativo.
Passo 5
Vamos dividir a linha dos números em intervalos, usando o ponto crítico
:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
Agora, vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal da fração.
- Para
: Vamos escolher
Então, no intervalo
, a fração é negativa.
- Para
: Vamos escolher
Então, no intervalo
, a fração é positiva.
Passo 6
Como a inequação é
, estamos buscando onde a fração é positiva. Pelo que vimos:
- Positiva em:
- Negativa em:
Também,
não está incluído porque a fração não está definida nesse ponto.
Resposta
A solução da inequação é
.