Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . O objetivo é encontrar os pontos estacionários dessa função e depois classificá-los. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos estacionários. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos encontrar e e igualar ambas a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicando a regra do produto:
Fatorando :

Passo 5

Agora temos um sistema de equações para encontrar os pontos estacionários:
Vamos resolver cada equação:
  1. O produto é zero se qualquer fator for zero:
    • sempre.
  2. Novamente:
Vamos combinar essas soluções para encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.

Passo 6

Analisando as possibilidades:
  1. Se :
    Substituímos na segunda equação:
    Portanto,
    Então, temos o ponto
  2. Se :
    Substituímos na segunda equação:
    Aqui, , então
    Então, temos o ponto
  3. Se :
    Já analisamos esse caso acima quando , obtendo
  4. Se :
    Substituímos na primeira equação:
    Como , então
    Assim, o ponto é
Portanto, os pontos estacionários são e .

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos estacionários usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas e o discriminante :
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
  1. Aplicando a regra do produto:
  2. Aplicando a regra do produto:
Agora, calculamos para cada ponto.

Passo 8

Para o ponto :
Calculamos as segundas derivadas:
Então:
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Calculamos as segundas derivadas:
Então:
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Nesse caso, precisaríamos de outros métodos para classificar o ponto, mas geralmente consideramos que pode ser um ponto de inflexão ou outro tipo de comportamento complexo.

Resposta

Os pontos estacionários da função são:
  1. – ponto de sela.
  2. – classificação inconclusiva pelo teste da segunda derivada.

Exercícios relacionados

Sea f la función definida por y sea R la región triangular de vértices .
Represente gráficamente la región y determine los puntos de en los cuales la función podría alcanzar los valores extremos absolutos.
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros, horas após o escoamento é dada por . Determinar:
c) A quantidade de água que sai da cisterna nas 5 primeiras horas.
Para cada uma das funções definidas abaixo, faça uma tabela de valores e esboce o gráfico da função.