Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. O objetivo é encontrar os pontos estacionários dessa função e depois classificá-los. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos estacionários. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero. Ou seja, vamos encontrar
e
e igualar ambas a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações para encontrar os pontos estacionários:
Vamos resolver cada equação:
-
O produto é zero se qualquer fator for zero:
-
→ -
→ -
sempre.
-
-
Novamente:
-
-
→ -
-
Vamos combinar essas soluções para encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.
Passo 6
Analisando as possibilidades:
-
Se
: Substituímos na segunda equação:Portanto,Então, temos o ponto -
Se
: Substituímos na segunda equação:Aqui,, então → Então, temos o ponto -
Se
: Já analisamos esse caso acima quando, obtendo -
Se
: Substituímos na primeira equação:Como, então → Assim, o ponto é
Portanto, os pontos estacionários são
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos estacionários usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas e o discriminante
:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
-
Aplicando a regra do produto:
-
Aplicando a regra do produto:
-
Agora, calculamos
para cada ponto.
Passo 8
Para o ponto
:
Calculamos as segundas derivadas:
Então:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Calculamos as segundas derivadas:
Então:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Nesse caso, precisaríamos de outros métodos para classificar o ponto, mas geralmente consideramos que pode ser um ponto de inflexão ou outro tipo de comportamento complexo.
Resposta
Os pontos estacionários da função
são:
-
– ponto de sela. -
– classificação inconclusiva pelo teste da segunda derivada.
Exercícios relacionados
Sea f la función definida por
y sea R la región triangular de vértices
.
Represente gráficamente la región y determine los puntos de
en los cuales la función
podría alcanzar los valores extremos absolutos.
Represente gráficamente la región
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros,
horas após o escoamento é dada por
. Determinar:
c) A quantidade de água que sai da cisterna nas 5 primeiras horas.
c) A quantidade de água que sai da cisterna nas 5 primeiras horas.
Para cada uma das funções definidas abaixo, faça uma tabela de valores e esboce o gráfico da função.