Sea f la función definida por y sea R la región triangular de vértices .
Represente gráficamente la región y determine los puntos de en los cuales la función podría alcanzar los valores extremos absolutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e uma região triangular com os vértices em , e . Nosso objetivo é desenhar essa região e encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos absolutos dentro de . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria para desenhar a região e de cálculo para encontrar os extremos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região triangular . Os vértices são , e . Imagina um gráfico de coordenadas cartesianas:
  • Ponto A: está no eixo x, 1 unidade à direita da origem.
  • Ponto B: está no eixo x, 1 unidade à esquerda da origem.
  • Ponto C: está no eixo y, 1 unidade abaixo da origem.
Conectando esses pontos, a gente forma um triângulo que fica abaixo do eixo x, estendendo-se de a .

Passo 3

Agora, vamos entender onde a função pode atingir seus valores máximos e mínimos dentro desse triângulo. Para encontrar os extremos absolutos de uma fun��ão em uma região fechada e limitada, a gente precisa verificar:
  1. Os pontos críticos dentro da região: onde as derivadas parciais da função são zero.
  2. Os limites da região: ou seja, nos lados do triângulo.
Mas, como o triângulo é bastante simples, vamos primeiro verificar os valores da função nos três vértices, porque muitas vezes os extremos estão aí.

Passo 4

Vamos calcular em cada vértice:
  • No ponto :
  • No ponto :
  • No ponto :
Então, nos vértices, a função assume os valores 2, 0 e 0.

Passo 5

Agora, vamos verificar se há pontos dentro da região ou nos lados do triângulo onde a função pode atingir valores maiores ou menores. Para isso, vamos olhar as derivadas parciais da função.
Calculando as derivadas parciais de :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
O ponto crítico é . Mas vamos ver se esse ponto está dentro da região . Olhando os vértices, está abaixo do triângulo, já que o vértice mais abaixo é . Portanto, esse ponto não está dentro de , então não precisamos considerar ele para os extremos.

Passo 6

Como não há pontos críticos dentro da região, os próximos candidatos para os extremos são os pontos nos lados do triângulo. Vamos analisar cada lado:
  1. Lado entre e :
    • Aqui, varia de 0 a -1 enquanto varia de 1 a 0.
    • Podemos parametrizar esse lado e minimizar ou maximizar , mas já vimos que nos vértices os valores são 2 e 0.
  2. Lado entre e :
    • Similarmente, já verificamos os vértices com valores 0.
  3. Lado entre e :
    • Aqui, e varia de -1 a 1.
    • A função nesse lado fica .
    • Quando , e quando , .
Isso confirma que os valores máximos e mínimos estão nos vértices.

Resposta

Os valores extremos absolutos da função na região ocorrem nos vértices. O valor máximo é 2 no ponto e o valor mínimo é 0 nos pontos e .

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Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: