Sea f la función definida por
y sea R la región triangular de vértices
.
Represente gráficamente la región
y determine los puntos de
en los cuales la función
podría alcanzar los valores extremos absolutos.
Represente gráficamente la región
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e uma região triangular
com os vértices em
,
e
. Nosso objetivo é desenhar essa região e encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos absolutos dentro de
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria para desenhar a região e de cálculo para encontrar os extremos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região triangular
. Os vértices são
,
e
. Imagina um gráfico de coordenadas cartesianas:
- Ponto A:
está no eixo x, 1 unidade à direita da origem. - Ponto B:
está no eixo x, 1 unidade à esquerda da origem. - Ponto C:
está no eixo y, 1 unidade abaixo da origem.
Conectando esses pontos, a gente forma um triângulo que fica abaixo do eixo x, estendendo-se de
a
.
Passo 3
Agora, vamos entender onde a função
pode atingir seus valores máximos e mínimos dentro desse triângulo. Para encontrar os extremos absolutos de uma fun��ão em uma região fechada e limitada, a gente precisa verificar:
- Os pontos críticos dentro da região: onde as derivadas parciais da função são zero.
- Os limites da região: ou seja, nos lados do triângulo.
Mas, como o triângulo é bastante simples, vamos primeiro verificar os valores da função nos três vértices, porque muitas vezes os extremos estão aí.
Passo 4
Vamos calcular
em cada vértice:
-
No ponto
: -
No ponto
: -
No ponto
:
Então, nos vértices, a função assume os valores 2, 0 e 0.
Passo 5
Agora, vamos verificar se há pontos dentro da região ou nos lados do triângulo onde a função pode atingir valores maiores ou menores. Para isso, vamos olhar as derivadas parciais da função.
Calculando as derivadas parciais de
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
O ponto crítico é
. Mas vamos ver se esse ponto está dentro da região
. Olhando os vértices,
está abaixo do triângulo, já que o vértice mais abaixo é
. Portanto, esse ponto não está dentro de
, então não precisamos considerar ele para os extremos.
Passo 6
Como não há pontos críticos dentro da região, os próximos candidatos para os extremos são os pontos nos lados do triângulo. Vamos analisar cada lado:
-
Lado entre
e : - Aqui,
varia de 0 a -1 enquanto varia de 1 a 0. - Podemos parametrizar esse lado e minimizar ou maximizar
, mas já vimos que nos vértices os valores são 2 e 0.
- Aqui,
-
Lado entre
e : - Similarmente, já verificamos os vértices com valores 0.
-
Lado entre
e : - Aqui,
e varia de -1 a 1. - A função nesse lado fica
. - Quando
, e quando , .
- Aqui,
Isso confirma que os valores máximos e mínimos estão nos vértices.
Resposta
Os valores extremos absolutos da função
na região
ocorrem nos vértices. O valor máximo é 2 no ponto
e o valor mínimo é 0 nos pontos
e
.
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